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    Injectivité et Surjectivité

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    Injectivité et Surjectivité
    Message de tibad2517 posté le 02-01-2017 à 22:09:13 (S | E | F)
    Bonsoir.Je ne parviens pas à traiter la question 1- de ce problème :
    Soit E et F deux ensembles non vides tels qu'il existe une injection f de E dans F et une injection g de F dans E . On note h=gof et k=fog . On définit une relation R dans E et une relation S dans F par :
    Quelques a , x € E a R x il existe n€|N , a=h^n(x) ou x=h^n(a)
    Quelque b,y € F b S y il existe n € |N , b=k^n(y) ou y=k^n(b)
    1-)Demontrer , pour tout n € |N, que h^n et k^n sont injectives , que foh^n=h^nof et que gok^n = h^nog.
    2-)Demontrer que : Quelque (a,x) € E² , (a R x f(a) S f(x))
    Quelque (b , y ) € F² , (b S y g(b) R (y) )
    3-)Montrer que R est une relation d'équivalence dans E.
    Pour tout a de E , on note a barre la classe d'équivalence de a.
    .) Montrer :Quelque soit ā € E, h(ā) C ā
    4-)Montrer que S est une relation d'équivalence dans F Pour tout b de F , on note b~ la classe d'équivalence de b.
    -)Montrer que si b € F , k (b~) C b et que si a €E , g(f(a)~) C ā
    5-)Montrer que E/R et F/S sont en bijection
    6-) -)On suppose que h/ā est surjective sur ā
    -)Démontrer que permet de définir une bijection entre de f(a)~ et ā
    7-)On suppose que h/ā est non surjective
    a-)Démontrer que qu'il existe un u unique dans ā tel que ā ne soit pas dans h(E)
    -) Démontre que :
    ā =ū={x € E / il existe n € |N x = h^n(u)}
    b)Démontrer que
    - ou bien f(ā)={y € F/ il existe n € |N y= h^ n (f(ā))}
    - ou bien il existe un élément b unique de F tel que :
    f(u) = k ( b ) et f(a)~={y € F/ il existe n €|N y=k^n (b)}
    c-) Montrer que ā et f(a)~ sont en bijection
    Démontrer que E et F sont en bijection
    9-) Qu'avez-vous démontré?


    Réponse : Injectivité et Surjectivité de puente17, postée le 03-01-2017 à 18:43:17 (S | E)
    Bonjour,
    Je suis surpris que ce soit la question 1 qui vous pose problème, surtout quand on voit la suite .
    La composée de 2 fonct. inj. est injective et on géneralise à n.
    f ° h^n = f° (g°f)^n = (f°g)^n °f = k^n°f (ah oui il y a une petite erreur dans la première égalité à démontrer, pas dans l'autre) on utilise uniquement les def. et l'associativité de °
    Bonne chance, ce th de Bernstein ne m'a pas laissé un très bon souvenir.



    Réponse : Injectivité et Surjectivité de tibad2517, postée le 06-01-2017 à 12:16:49 (S | E)
    Bonjour. Comment est ce qu'on pour montrer la question 3-)•) et 4-)•)




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