Théorème de Bézout
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Message de tibad2517 posté le 01-01-2017 à 13:16:33 (S | E | F)
Bonjour.Je n'arrive pas à répondre à la question 2 de cet exercice
Soit A=X⁴+1 et B=X³-1
1-Determiner pgcd(A,B)
2-En déduire U et V €|R[X] :AU + BV=1
Message de tibad2517 posté le 01-01-2017 à 13:16:33 (S | E | F)
Bonjour.Je n'arrive pas à répondre à la question 2 de cet exercice
Soit A=X⁴+1 et B=X³-1
1-Determiner pgcd(A,B)
2-En déduire U et V €|R[X] :AU + BV=1
Réponse : Théorème de Bézout de puente17, postée le 01-01-2017 à 16:57:19 (S | E)
Bonjour,
L'algorithme d'Euclide appliqué aux polynômes vous permet de répondre à cette question.
ex sur Z:
pgcd(8,5) = 1 donc il existe a et b tel que ax8+bx5 = 1
utilisant la division euclidienne on obtient:
8 = 5x1 + 3
5 = 1x3 + 2
3 = 1x2 + 1
en utilisant ces inégalités de bas en haut on obtient alors une solution :
donc : 1 = 3 - 1x2 → 1 = 3 - (5 - 1x3) = 2x3 - 5 = 2x(8-1x5)- 5 = 2x8 - 3x5 → a=2 et b= -3
faire la même chose mais sur R[X]
Réponse : Théorème de Bézout de nemo33, postée le 02-01-2017 à 19:50:36 (S | E)
Bonjour
Deux cas à distinguer
1er: x est un nombre entier pair
2eme: x est un nombre entier impair
Le PGCD (A, B) n'est pas le même selon que x et pair ou impair
Réponse : Théorème de Bézout de puente17, postée le 02-01-2017 à 20:21:02 (S | E)
Bonjour,
Deux petites précisions:
Il s'agit d'un problème sur les polynômes formels et le fait de parler de la parité de X n'est pas à envisager.
Si on procède à la série des divisions euclidiennes successives , le dernier reste non nul est -2 qui est inversible dans R (comme tous les réels non nuls) et l'algorithme nous fournira donc deux polynômes A1 et B1 tels que A1 U + B1 V = -2, en divisant les deux membres par -2 on obtiendra A et B.
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