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    Récurrence !

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    Récurrence !
    Message de nina96 posté le 03-12-2015 à 06:40:17 (S | E | F)
    Bonjour,
    Je suis en première année mathématiques universitaire et je n'arrive pas à résoudre cet exercice :
    Montrer que: n^3 supérieur ou égal n^2 + n+ 1
    cette assertion est vraie à partir de n sup à 2.
    Je n'arrive pas à le démontrer avec récurrence : . Pouvez-vous m'aider, s'il vous plaît ?
    M
    erci à tous !
    -------------------
    Modifié par bridg le 03-12-2015 07:44


    Réponse: Récurrence ! de snow369, postée le 03-12-2015 à 10:41:37 (S | E)
    bonjour,
    je suis en premier année universitaire aussi
    alors pour l'exercice je vais vous donne un clé et a vous de trouver la reponce
    alors tu va utiliser Le raisonnement par récurrence
    n=2
    .
    .
    .
    .
    .
    alors après trouver que le résultat
    tu vas avoir comme donne n^3 supérieur ou égal n^2 + n+ 1
    maintenant il faut prouve que (n+1)^3 supérieur ou égal (n+1)^2 + (n+1)+ 1
    alors pour prouve que A est supérieur a B
    IL FAUT PROUVER QUE a-b est supérieur a 0
    bon chance
    bonne journé,



    Réponse: Récurrence ! de fransoise, postée le 03-12-2015 à 15:16:52 (S | E)
    Bonjour nina96,

    Ainsi que l'écrit snow369, il faut utiliser le raisonnement par récurrence :

    On prend un point de départ,
    dans ce cas n = 2, qui vérifie l'inégalité (un petit calcul pour en être sûre))
    puis on va supposer que l'inégalité est valable pour un entier n et voir ce qu'il se passe pour l'entier suivant c'est-à-dire (n+1)
    si cela est vrai, on peut passer de n à n+1 à n+2 ainsi de suite et en prenant n=2 nous aurons vérifier l'inégalité pour tout n ≥ 2
    Y' a plus qu'à !
    ...

    Après il donne une méthode :
    au lieu de calculer que a ≥ b, on cherche à montrer que a-b ≥ 0

    c'est-à-dire que on calcule (n-1)3 - (n+)² - (n+1) - 1 (expression pour n+1)
    sachant que n3 - n² - n - 1 ≥ 0 (inégalité pour n considérée comme vraie)
    et on doit prouver que cette expression est positive ou nulle.

    Commencez les calculs, à plus tard...

    Fransoise

    -------------------
    Modifié par fransoise le 03-12-2015 15:17





    Réponse: Récurrence ! de nina96, postée le 03-12-2015 à 17:22:02 (S | E)

    bonsoir, merci pour vos réponses.


    voici ce que j'ai trouvé: n^3 + 2n^2 - 2 sup à 0


    je n'arrive pas à trouver le nombre remarquable pour que je puisse écrire l'expression sous cette forme: (n-n')(an^2+bn+c) avec n' la solution évidente.


    pourriez-vous m'aider?





    Réponse: Récurrence ! de fransoise, postée le 03-12-2015 à 21:44:48 (S | E)
    Bonsoir nina96

    Bien vous avez donc calculé
    (n+1)3 - (n+1)² - (n+1) - 1 = n3 + 2n² - 1 (A)
    à ce moment, il faut utiliser ce que l'on sait de n3
    c'est-à-dire n3 ≥ n² + n + 1
    Dans (A) cela donne
    (n+1)3 - (n+1)² - (n+1) - 1 ≥ (n² + n + 1) + 2n² - 1

    on simplifie et ensuite on se rappelle que n ≥ 2 > 0
    on en déduit des inégalités pour n² et autres... que l'on reporte dans (A)

    Fransoise



    Réponse: Récurrence ! de nina96, postée le 04-12-2015 à 17:12:44 (S | E)
    bonsoir,
    alors ça donnera: (n+1)^3 - (n+1)^2 - (n+1) - 1 sup ou égal à 3n^2 + n
    et comme on a l'expression n^3 sup n^2 + n+ 1 est vrai que si n sup ou égal à 2
    alors 3n^2 + n est sup à 0
    donc P(n+1) est vérifiée
    est-ce valable??
    mille mercis



    Réponse: Récurrence ! de fransoise, postée le 04-12-2015 à 18:35:23 (S | E)
    Bonjour nina96,

    Pas exactement, vous avez bien trouvé que
    (n+1)3 - (n+1)² - (n+1) - 1 ≥ 3n² + n

    Maintenant il faut borner inférieurement 3n² + n

    Souvenez-vous n ≥ 2
    donc n² ≥ 2 ≥ 0
    ensuite 3n² ≥ ...
    d'où 3n² + n ≥ ...
    donc (n+1)3 - (n+1)² - (n+1) - 1 ≥ 3n² + n ≥ ...
    à ce moment on peut conclure

    Il faut bien dissocier :
    - les hypothèses, ce qui est posé, admis comme vrai
    - des conclusions, ce que l'on cherche, que l'on doit démontrer.

    Bon week-end

    Fransoise



    Réponse: Récurrence ! de nina96, postée le 04-12-2015 à 18:54:34 (S | E)
    donc je ne peux juste l'affirmer comme ça, d'accord je vois. merci encore Mme Françoise
    bon week-end à vous aussi



    Réponse: Récurrence ! de fransoise, postée le 04-12-2015 à 20:51:58 (S | E)
    Bonsoir nina96,

    Quand vous aurez remplacez les ... par des valeurs constantes et indépendantes de n, vous aurez donc une inégalité qui prouvera que P(n+1) est vraie.
    N'oubliez pas, on n'affirme pas, on démontre

    Fransoise



    Réponse: Récurrence ! de nina96, postée le 06-12-2015 à 17:56:34 (S | E)
    bonsoir, c'est encore moi
    voilà, après avoir fini de faire la démonstration, je me rend compte que si je met n sup= à 2 sup à 0
    donc 3n^2 + n -1 sup= à 13 sup strictement à 0
    au final j'aurais bien (n+1)^3 sup strictement à (n+1)^2 + (n+1) + 1
    or, P(n) c'est une inégalité large..
    aussi, un camarade m'a montré sa démonstration:
    n^3 sup= n^2 + n+ 1
    d'oû n^3 sup= (n+1)^2 -1
    en posant n=n+1, j'obtiens:
    (n+1)^3 sup= (n+1)^2 +(n+1) +1......P(n+1)
    je voudrais savoir si mon raisonnement reste juste, ou pas..




    Réponse: Récurrence ! de fransoise, postée le 06-12-2015 à 18:32:27 (S | E)
    Bonjour,

    Une remarque si a > 0 alors a ≥ 0
    c'est le contraire qui est faux !
    donc si P(n) > 0 forcément P(n) ≥ 0

    quand à la démonstration qui suit, j'ai du mal à trouver sa logique (ce qui ne veut bien sûr pas dire qu'il n'y en a pas !)

    Bonne soirée.

    Fransoise




    Réponse: Récurrence ! de nina96, postée le 06-12-2015 à 18:38:20 (S | E)
    okay, pour a je ne savais, merci encore!
    bonne soirée à vous aussi




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