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    Vérifier les conditions de Dirichlet

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    Vérifier les conditions de Dirichlet
    Message de eveil posté le 30-03-2014 à 12:20:33 (S | E | F)

    Bonjour,

    J'ai une fonction à priori toute simple où je n'arrive pas à retrouver les bonnes valeurs de sa dérivé. La fonction f est définie sur R, est périodique de période ∏, et est définie par :

    f(t)= t . (∏-t) définie sur [0;∏[

    Donc f'(t)= ∏-2t
    f'(t) s'annule alors pour t = ∏/2

    f'(t)>0 sur ]0 ; ∏/2[
    f'(t) < 0 sur ]∏/2 ; 0[
    f'(t) = 0 si t=0 ou t=∏/2

    f(t) est donc croissante sur ]0 ; ∏/2[ et décroissante sur ] ∏/2 ; ∏[

    f(0) = f(∏) = 0
    f(∏/2) = ∏²/4

    Voilà, jusque là rien de compliqué, seulement dans la correction (et je n'ai malheureusement pas une correction très détaillée), on est censé trouvé :


    f'(0-)=-∏
    f'(0+)=∏
    f'(∏-)=-∏
    f'(∏+)=∏

    Or forcément avec f'(t)= (∏-2t) je ne retrouve pas ces valeurs, alors je me dis qu'il faut sûrement que j'utilise le fait qu'elle soit périodique de période ∏ et donc f'(t - ∏) = f'(t+∏) = f'(t)

    f'(t-∏)= ( ∏-2(t-∏) ) = ∏-2t + 2∏
    f'(t-∏) = 3∏ - 2t
    f'(t+∏) = - ∏ - 2t


    f'(∏+ - ∏) = f'(0+)= 3∏ - 2∏+ = ∏-
    f'(∏- - ∏) = f'(0-)=  3∏ - 2∏- = ∏+
    f'(0+ + ∏) = f'(∏+)= -∏ - 2.0+ = -∏
    f'(0- + ∏) = f'(∏-)= -∏ - 2.0- = -∏

    Comme vous le voyez, je n'arrive pas à retomber sur les valeurs attendues et je me demande bien pourquoi ? Après le fait de ne pas avoir les bonnes valeurs, ce n'est pas grave en soit puisque les limites à gauche et à droite de la dérivé sont finies, que f est ∏-périodique continue et dérivable sur [0 ; ∏[ et donc les conditions de Dirichlet sont vérifiés.
    N'empêche que j'aimerais bien trouver l'erreur et comprendre aussi pourquoi on cherche les limites à gauche et à droite en t = k.∏ (k appartenant à Z) de la dérivé de f puisque pour moi f'(t) est continue, ce qui fait que je ne vois pas du tout l'intérêt de calculer ses limites à gauche et à droite en t = k.∏, car cela voudrait dire qu'en t=k.∏ f'(t) est discontinue.

    Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

    Cordialement,




    Réponse: Vérifier les conditions de Dirichlet de nick94, postée le 30-03-2014 à 17:26:31 (S | E)
    Bonjour,
    Tu écris :
    Donc f'(t)= ∏-2t
    f'(t) s'annule alors pour t = ∏/2

    ce qui est juste puis
    f'(t)>0 sur ]0 ; ∏/2[
    f'(t) < 0 sur ]∏/2 ; 0[
    f'(t) = 0 si t=0 ou t=∏/2

    ce qui est faux
    Tuas fait un amalgame entre l'expression de f(t) et celle de f'(t) repars de ce qui est juste pour conclure.

    Ta fonction est définie sur [0;∏[
    donc f'(0+)se calcule en remplaçant t par o dan l'expression on obtient ∏
    En revanche f'(0-) est à considérer dans l'intervalle précédent [-∏ ; 0[ et en raison de la périodicité on obtient f'(0-)= f'(∏-)= -∏
    Cela t'éclaire t'il ?



    Réponse: Vérifier les conditions de Dirichlet de eveil, postée le 30-03-2014 à 18:41:37 (S | E)
    Bonjour Nick94 et merci de ta brillante réponse qui, je dois bien l'avouer, apporte une douce, agréable et chatoyante lumière sur cet exercice. ;)
    En revanche elle ne parvient pas encore à chasser définitivement la ténacité de l'amalgame qui s'acharne encore à obscurcir mon pauvre et malheureux esprit.

    J'arrive donc très bien à comprendre le raisonnement que tu as fait mais je ne comprends toujours pas pourquoi ce que j'ai fait est faux et ne mène donc pas au bon résultat.



    Réponse: Vérifier les conditions de Dirichlet de nick94, postée le 30-03-2014 à 20:42:48 (S | E)
    f'(t)= ∏-2t
    f'(t) s'annule alors pour t = ∏/2 vrai !
    f'(o) = ∏ et pas o !
    f' est une fonction affine en t (coeff -2, ord à l'origine ∏)

    f'(t)>0 sur ]0 ; ∏/2[
    ...
    f'(t) = 0 si t=0 ou t=∏/2
    correspondrait à :
    f'(t)= t(∏-2t)



    Réponse: Vérifier les conditions de Dirichlet de eveil, postée le 30-03-2014 à 22:17:16 (S | E)
    Ah oui, effectivement j'ai lu et relu plusieurs fois et je n'avais pas vu l'énormité de ma faute : f'(t) = 0 si t=0
    Désolé :S

    Mais ce qui me posait problème en fait c'est la seconde partie puisque je suis parti, sans avoir remarqué ma monstrueuse erreur, d'un principe bien correct que f'(t)=(∏-2t)
    et de là... j'écris ensuite que f'(t+∏) = f'(t-∏) = f'(t)

    Mais je comprends alors que dans certains cas je sors de l'intervalle de définition [0 ; ∏[
    genre f'(∏- - ∏) = f'(0-) ; ce qui fait que je n'ai absolument pas le droit de calculer f'(∏- - ∏)
    Ce qui tente à expliquer que les valeurs que je trouve ne sont pas bonnes.

    Mais du coup, tout cela éveil en moi une vive curiosité

    Si je reprends la fonction f'(t) = (∏-2t)
    Pourquoi f'(0-) est différent de f'(∏-) alors que la fonction f est périodique de période ∏ ?

    Et là évidemment, on est tenté de répondre que c'est pour ça qu'on la définie sur [0 ; ∏[
    Oui mais n'empêche que ça ne m'aide pas à comprendre pourquoi, lorsqu'on calcul à partir de f'(t) = (∏-2t)
    f'(0-) est différent de f'(∏-) ?
    Est-ce que ça ne proviendrait pas du fait que

    La dérivé est définie par la limite de (f(x)-f(x0)) / (x-x0) quand x tend vers x0
    J'ai donc envie d'écrire que lorsque qu'on utilise la périodicité sur une dérivé ça revient à la chose suivante :

    f'(x-∏) = limite de (f(x-∏)-f(x0-∏)) / ( (x-∏)-(x0-∏) ) quand x tend vers x0
    f'(x-∏) = limite de (f(x-∏)-f(x0-∏)) / ( (x-x0) ) quand x tend vers x0

    Et encore, j'ai négligé le h.epsilon(h) qui du coup ne serait peut-être pas négligeable
    M'enfin... je sais trop... :D
    Pourquoi f'(0-) n'est-elle pas égale à f'(∏-) ?

    Ça alors ! C'est vachement angoissant comme question, non ? :S

    Je ferais peut-être mieux d'aller dormir
    ... si j'arrive à trouver le sommeil avec toutes ces ambiguïtés me perturbent l'esprit...



    Réponse: Vérifier les conditions de Dirichlet de nick94, postée le 30-03-2014 à 22:38:01 (S | E)
    on ne peut pas calculer f'(0-) avec (∏-2t) comme expression de f'(t) puisque 0- n'est pas dans l'intervalle [0 ; ∏[ sur lequel cette expression s'applique




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