Fonction dï¿½rivï¿½e Ln BTS

Fonction dérivée Ln BTS
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Fonction dérivée Ln BTS
Message de vlm posté le 29-12-2013 à 23:47:56 (S | E | F)
Bonsoir,

J'aurais besoin de votre aide pour cet exercice, je suis bloquée!

Pour les fonctions suivantes : définir le domaine de définition, puis calculer la fonction dérivée.
1) f(x)= x² . ln(x^3)
2) g(x) = (x²-(1/2)).ln(x²)
3) h(x) = (ln(x+1)-3)/(x+1)

Voici ce que j'ai déjà trouvée :

1) Df = ]0 ; +inf[
2) Df = ]((Racine2)/2) ; +inf[
3) Df = ]2 ; +inf[

1) f'(x) = x² . 3 . ln(x) et là je suis bloquée, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?!

Merci d'avance

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 30-12-2013 à 00:42:50 (S | E)
Bonsoir vlm :
lien internet http://www.ann.jussieu.fr/~blasselle/documents/FormDerivees.pdf
1) Df = ]0 ; +inf[ (exact)
2) Df = ]((Racine2)/2) ; +inf[ (faux, meme raisonnement que tu as fait pour 1))
3) Df = ]2 ; +inf[ (faux
, h(x) est sous la forme d'un quotient de deux fonctions
m(x)=[ln(x+1)]-3 (fonction logarithme) et p(x)=x+1 fonction polynome .
Tu dois chercher Dm ? puis Dp ? et enfin $Dh=Dm \cap Dp\red$ ? )
*Pour le calcul de la dérivée
1) f'(x) = x² . 3 . ln(x) (faux ) .Ce résultat est tout simplement la forme réduite de f(x)=x².ln(x^3)=x².3.ln(x)=3.x².ln(x) .Applique la formule de la dérivée d'un produit de deux fonctions (u.v)'=u'.v+u.v' ) . Réponds d'abord à ses questions et on verra la suite .Poste tes résultats .Bon courage

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de genijose, postée le 30-12-2013 à 01:25:55 (S | E)
Wab51 a déjà bien démélé le pb.
Pour la troisième prends la formule des quotients.
(u/v)' =(u'v-v'u)/v2.
Avec U=ln(x+1)-3 u'=1/(x+1)
Bon courage.

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 30-12-2013 à 09:33:49 (S | E)
Bonjour vlm ,bonjour genijose
Je rajoute une toute une petite précision concernant la question "domaine de définition Dh " :
Dm désigne l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles (x+1)>0
Dp désigne l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles (x+1)≠0
et par conséquent le domaine de définition de h est Dh=Dm ∩ Dp .Bon courage

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 30-12-2013 à 13:40:26 (S | E)
Bonjour,

Pour le 1)

Df = ]0 ; +inf[

f'(x) = 2x . ln(x^3) + x, pour le moment j'en arrive la, mais mon problême est comment s'implifier encore la dérivée car j'avoue que cette forme me bloque! Pourriez-vous m'expliquer s'il vous plaît.

Merci par avance pour votre aide.

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de genijose, postée le 30-12-2013 à 14:49:54 (S | E)
Ta dérivée de f n'est pas bonne .... Ce n'est pas x ... Il manque un petit quelquechose. Et pour la simplification ? A part une factorisation il n'y aura rien de bien extraordinaire.

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 30-12-2013 à 14:56:00 (S | E)
Bonjour vlm :
1-a)Df (exact)
1-b)f'(x)= 2.x.ln(x^3)+x (faux). Je pense que tu n'avais pas prêté beaucoup d'attention au lien que je t'avais envoyé et dont j'avais rappelé pour répondre à cette question ,la formule à appliquer lorsqu'il s'agit du calcul de la dérivée d'un produit .
En fait tu as f(x)= x².ln(x^3)qui s'écrit comme tu l'avais déjà trouvée f(x)=3.x².ln(x) et travaille avec cette forme réduite et plus simple pour calculer f'(x) en posant
1)soit u=x² d’où u'=? ; et v=ln(x) d’où v'= ? (là ,il te suffit de remplacer dans la formule f'(x)=u'.v+u.v',pour calculer et trouver le résultat ).
Bonne continuation et bon courage

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 30-12-2013 à 15:48:15 (S | E)
Bonjour Wab 51, je vais mettre les détails de ce que j'ai fait:

u = x²
u'= 2x
v = ln(x^3)
v'=1/x^3

f'(x)=2x.ln(x^3)+x².(1/x^3)
f'(x)=2x.ln(x^3)+(x²/x^3)
f'(x)=2x.ln(x^3)+x

Voila comment j'étais arrivée au résultat précédement posté!

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 30-12-2013 à 17:15:25 (S | E)

u = x²
u'= 2x (exact)
v = ln(x^3)
v'=1/x^3 (malheureusement faux .je te rappelle que la dérivée de ln(w) c'est w'/w sachant que w=x^3 donc w'=? .
Donc,refais le calcul en tenant compte de cette indication pour trouver f'(x) ?

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 30-12-2013 à 20:18:17 (S | E)
u = x²
u'= 2x
v = ln(x^3)
v'=3x²/x^3

f'(x)=2x.ln(x^3)+x².(3x²/x^3)
f'(x)=2x.ln(x^3)+x².(3/x)
f'(x)=2x.ln(x^3)+ 3x

Que je suis bête!!!

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 30-12-2013 à 21:14:21 (S | E)
Voilà!c'est excellent !et le plus important est que tu as bien compris
Alors ,maintenant tu peux répondre facilement pour la fonction g ?

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 30-12-2013 à 21:39:40 (S | E)
2) g(x) = (x²-(1/2)).ln(x²)
Il faut que x²-(1/2) > 0 x² > 1/2 x² > racine (1/2)
x² > 0 x > 0
Donc Df = ]0; +inf[

u = x² - (1/2)
u' = 2x
v = ln x²
v' = (2x/x²)

g'(x) = 2x . ln(x²) + x² - (1/2) . (2x/x²)
g'(x) = 2x . ln(x²) + x² - (1/2) . (2/x)

Je pense que l'on peut encore simplifier mais j'ai un doute sur la façon de faire!!!

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 30-12-2013 à 21:57:44 (S | E)

Il faut que x²-(1/2) > 0 x² > 1/2 x² > racine (1/2)(faux - (x²-1/2)est un polynôme et par conséquent définie pour tout réel donc R
x² > 0 donc x > 0 ou x < o puisque c'est un carré autrement dit x ≠ o simplement donc x appartient à R-{0}
Donc Df = ]0; +inf[ ( faux - Corrige l'erreur?

Pour le calcul de la dérivée g' .Le raisonnement est juste sauf ce qui est en rouge !!!
g'(x) = 2x . ln(x²) + (x² - (1/2)) . (2x/x²) (n'oublie pas de mettre les parenthèses)
g'(x) = 2x . ln(x²) + (x² - (1/2)) . (2/x) (tu peux développer et simplifier ?)

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 30-12-2013 à 22:07:11 (S | E)
Oula, je n'ai pas tout compris!!!

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 30-12-2013 à 22:34:02 (S | E)
*Tout polynôme est défini pour tout réel x (résultat très bien connu)donc son domaine de définition est L'ensemble réel R (1)
*Pour le ln(x²), n'est défini que si x²> 0 mais pas pour la valeur interdite x=0 donc ln(x²) est définie dans l'ensemble R exclue la valeur interdite 0 ce qui s'écrit R-{0} (2)
Pour trouver le domaine de définition de g ,il faut chercher l'intersection de l'ensemble de définition (1) et l'ensemble de définition de (2)? O.K ?et c'est à toi de répondre ?

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 31-12-2013 à 14:39:35 (S | E)
Bonjour,

g'(x) = 2x . ln(x²) + (x² - (1/2)) . (2x/x²)
g'(x) = 2x . ln(x²) + (x² - (1/2)) . (2/x)
g'(x) = 2x . ln(x²) + (2x²/x)-(1/x)
g'(x) = 2x . ln(x²) + 2x - (1/x)

Est-ce correct??

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 31-12-2013 à 14:52:01 (S | E)
*Tout polynôme est défini pour tout réel x (résultat très bien connu)donc son domaine de définition est L'ensemble réel R (1)
*Pour le ln(x²), n'est défini que si x²> 0 mais pas pour la valeur interdite x=0 donc ln(x²) est définie dans l'ensemble R exclue la valeur interdite 0 ce qui s'écrit R-{0} (2)
Pour trouver le domaine de définition de g ,il faut chercher l'intersection de l'ensemble de définition (1) et l'ensemble de définition de (2)? O.K ?et c'est à toi de répondre ?

Donc (x²-(1/2)) est défini sur R et ln(x²) est défini sur R/{0}, donc pour moi l'intersection de l'ensemble de définition est R/{0}, mais je dois avouer que je ne suis pas sûr du tout.

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 31-12-2013 à 14:53:19 (S | E)
Bonjour
Oui,c'est bien exact !
Ah!excellents progrès !
g'(x) = 2x . ln(x²) + 2x - (1/x), et si on veut encore faire plus mieux g'(x)=2x.(1+ln(x²))-1/x .Encore et félicitations

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 31-12-2013 à 14:56:58 (S | E)
Oui!parfaitement !c'est encore exact Dg=R-{0}=R* ,

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 31-12-2013 à 15:01:01 (S | E)
Merci pour ton aide WAB51, je vais beaucoup progresser grâce à votre précieuse aide!

Par contre pour la 3)h(x) = (ln(x+1)-3)/(x+1),
je n'ai pas trop compris les explications pour le domaine de définition, mais je vais tout de même rechercher encore une fois avant de vous demander! (oups il me semble en fait qu'il s'agit de la même chose que pour la 2??)

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Modifié par vlm le 31-12-2013 15:02

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 31-12-2013 à 15:06:26 (S | E)
Juste une petite question concernant le domaine de définition de ln(x²) pour la 2).

Comment fait-on pour trouver R/{0}, car vous m'avez donnez la réponse, mais le but du jeu c'est que je sache le faire, je vous demande donc de bien vouloir m'expliquer si cela ne vous dérange pas trop!

Merci par avance,

vlm

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 31-12-2013 à 15:11:52 (S | E)
Oui,c'est ça!prends ton temps pour réfléchir ,c'est important !et je dirais même que tu es en pleine forme aujourd'hui.
Tout juste une toute petite indication :Pour h(x)=u(x)/v(x) .Applique la dérivée d'un quotient qui est h'(x)=[u'.v-u.v']/v² .
Bon courage

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 31-12-2013 à 15:27:23 (S | E)
Si je ne me suis pas tromper dans mon calcul:

h'(x) = ((-ln(x+1))-3)/(x+1)²

Pour le domaine de définition:
Dp = R
Dm = R/{2}
Donc ce qui nous donnerai Dh = R/{2},

mais je ne suis pas sur pour le domaine de défintion de Dm!!

Est-ce exact?

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 31-12-2013 à 15:42:11 (S | E)
Tu as donné la réponse juste et par conséquent je n'ai fait que rappeler ta réponse ,c'est pourquoi j'ai conclu que tu avais compris !
Bon d'accord !pour l'explication
g(x)=[x²-1/2].ln(x²).On voit bien que g(x)est composée de deux fonctions u(x)=x²-1/2 (fonction polynome de degré 2 et v(x)=ln(x²)(fonction logarithme).Or
a)Pour la 1ère u(x),son Du=R car toutes les fonctions polynômes sont définies sur R
b)Pour la 2ième v(x)qui est fonction logarithme ,elle n'est définie (ou existe)que si x²> 0 .Tu sais aussi que le carré de tout nombre réel positif ou négatif et non nul est toujours positif par conséquent la seule valeur interdite est x=0 d'ou Dv=R-{0}=R*
c)Maintenant pour trouver le domaine de définition Dg de g ,il suffit de trouver l'ensemble des valeurs de x communes à Du et Dv et ce n'est autre que l'intersection des deux ensembles Du et Dv et qui est R-{0}=R* et qui s'écrit Dg=Du ∩ Dv = R* .

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 31-12-2013 à 16:00:26 (S | E)
Malheureusement faux .
1)Je te conseille de prendre bien le temps de réfléchir avant de répondre .
2)L'écriture " Dm = R/{2}" n'a pas de sens il faut écrire à la place de / un signe - c'est à dire Dm=R-{2} pour dire R sauf 2 .
Applique le même raisonnement que j'ai donné plus haut pour g(x)en faisant attention que h(x) se présente comme le quotient de deux fonctions u(x)=ln(x+1)-3= -3+ln(x+1) (donc fonction logarhme ) et v(x)=x+1 (fonction polynôme et se présente au dénominateur qui ne doit pas être égal à o )

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de genijose, postée le 31-12-2013 à 17:08:27 (S | E)
Un petit rappel ... L'argument d'un log ne doit jamais être inférieur ou égal à zéro .... Ce qui d'ailleurs est très intéressant pour le dénominateur .... Bref .
Une petite remarque, l'écriture R/{...} est utilisée aussi mais ce n'est pas le plus imporant.

Bon réveillons à toutes et tous.

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 02-01-2014 à 12:04:40 (S | E)
Bonjour,

Tout d'abord bonne année à vous,

pour le h(x) = (ln(x+1)-3)/(x+1)

le domaine de définition du numérateur: Dn = R-{2}
le domaine de définition du dénominateur: Dd = R-{0}

Dh = Dn ∩ Dd

Peut-on écrire Dh = R*-{2}??

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 03-01-2014 à 00:14:02 (S | E)
Bonsoir vlm : Merci beaucoup et bonne heureuse année 2014 à toi et à genijose .

Malheureusement ,ta réponse est fausse .Ce n'est pas du tout grave et surtout ne te décourage pas.Tu arriveras sans problème .

*Ton erreur provient du fait que tu es mal partie dès le départ en se trompant d'écriture de l'expression du numérateur :il faut bien lire que le numérateur est la différence entre le terme [ln(x+1)] et le nombre 3 et qui s'écrit [ln(x+1)] - 3 ,contrairement à ln[(x+1) - 3]=ln(x-2) .

*Avec ce que j'avais déjà expliqué auparavent et avec ce qui avait encore rappelé genijose et en s'appuyant sur l'écriture exacte de h(x) ,j'espère que tu formuleras la bonne réponse .Bon courage .

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de genijose, postée le 03-01-2014 à 01:17:10 (S | E)
Bonne année à vous deux aussi.
Bon courage pour cette fin d'exercice qui te pose vraiment soucis .... Pour peu de choses, effectivement, l'écriture st importante, les priorités opératoires aussi !

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de vlm, postée le 03-01-2014 à 11:43:05 (S | E)
Bonjour,

il y tout de même quelque chose qui cloche,

si je prends pour le numérateur:

x+1 > 0
x > -1, donc pour le domaine de définition je ne vois pas.

genijose à dit "L'argument d'un log ne doit jamais être inférieur ou égal à zéro"

Pour le dénominateur:

x+1 Dn=R* car le dénominateur ne peut pas être = 0.

Mon vrai soucis est donc le numérateur.

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Modifié par vlm le 03-01-2014 11:43

Réponse: Fonction dérivée Ln BTS de wab51, postée le 03-01-2014 à 19:38:00 (S | E)
Bonsoir vlm :Tout d'abord ,vraiment désolé!Par contrainte dans le réseau de connexion,je n'avais pas pu avoir de liaison depuis 00h41mn jusqu'à maintenant 18h57mn!!!
1)Pour le numérateur"ln(x+1)"
Pour ta réponse "ensemble des valeurs de x pour lesquelles ln(x+1)est définie "OUI ,elle est juste x+1>0 soit x>-1 qui se lit "ln(x+1) est définie pour toutes les valeurs réelles de x strictement supérieures à -1 ,qui se traduit identiquement par une manière d'écrire en utilisant la forme d'intervalles Dn=]-1;+∞[ .
2)Pour le dénominateur "(x+1)"
x+1 Dn=R* car le dénominateur ne peut pas être = 0.
Tu as bien écris "le dénominateur ne peut (plutôt ne doit)pas être égal =0 .Mais c'est ça et cette réponse sous la forme d'une phrase est parfaitement exacte .Ton erreur est que tu as simplement mal traduit mathématiquement cette phrase .Quel l'expression de ce dénominateur? mais c'est bien (x+1)!d'une part et d'autre part "et pour qu'il ne soit pas égal à 0 ",il faut simplement chercher la ou les valeurs de x pour laquelle (ou lesquelles)(x+1)=0 c'est à dire que x=-1 est la valeur interdite ,autrement dit Dd=R-{-1}
3)Finalement Dh=Dn∩Dd ? A toi maintenant de trouver le résultat ?

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