Dï¿½rives et limites

Dérives et limites
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Dérives et limites
Message de romuald8 posté le 10-09-2012 à 18:49:39 (S | E | F)
bonjour
voila f(x) = ln(2x)-e puissance -2x sur 0;+l'infini
la limite quand x tend vers 0 est 0
et quand x tend vers + l'infini la limite est + 8
en ce qui concerne la dérivé je n'y arrive pas et surtout je voudrais comprendre
f'(x) = 2ln(x) - 2 e puissance -2x
donc = 2x + 4x
j'avoue que je suis un peu perdu
merci de votre aide

Réponse: Dérives et limites de claire08, postée le 10-09-2012 à 18:56:46 (S | E)
Attention, il faut que tu décomposes ta fonction, occupe-toi d'une part de ln(2x) et d'autre part de la partie avec exponentielle. Tu vas devoir utiliser deux formules : la dérivée de ln(u) et celle de exp(u). Connais-tu ces deux formules? Essaie de le faire avec cette indication.

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 10-09-2012 à 20:17:40 (S | E)
donc si je comprends bien
f(x)= ln(2x)- e puissance -2x
la dérivée de ln(2x) = 2/x
la dérivée de e puissance - 2x = 2 e puissance -2x
donc cela donne f(x) = 2/x - 2 e puissance -2x
mais après?

Réponse: Dérives et limites de claire08, postée le 10-09-2012 à 20:21:21 (S | E)
Pas tout à fait :
pour ln(2x), si tu appliques la dérivée de ln(u):
(ln(u))'=u'/u
Mais qui est u dans l'histoire? Et donc combien vaut u'?

Pareil pour exp(u):
(exp(u))'=u'*exp(u), qui est u dans l'histoire? Et donc combien vaut u'?

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 10-09-2012 à 22:24:29 (S | E)
pour ln(2x)si je comprends cela donne 2/2x u= 2
pour e puissance -2x cela donne 2x e puissance -2x
donc cela fait
f'(x) = 2/2x + 2x e puissance -2x
merci de ton aide

Réponse: Dérives et limites de claire08, postée le 10-09-2012 à 22:29:18 (S | E)
Pour l'exponentielle, attention cela donne -2exp(-2x), mais comme ta fonction de départ est ln(2x) - exp(-2x), la dérivée sera 2/(2x) - (-2exp(-2x)
Tu peux simplifier un peu aussi.

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 11-09-2012 à 15:55:27 (S | E)
Bonjour :1)Pour la 1ere question :calcul des limites de f(x)
a) quand x tend vers o ,la limite de f(x) ne tend pas vers 0 .Il y'a une erreur. Refais donc le calcul pour cette limite ?
b)et quand x tend vers + l'infini ,la limite de f(x) tend vers + l'infini .Cette limite est correcte .

2)Pour le calcul de la dérivée f'(x) de f(x)=ln(2.x)- exp(-2.x) :Il faut savoir que:
-*)la dérivée de la fonction ln(u(x)) est u'(x)/u(x) ,sachant u'(x) est la dérivée de u(x) par rapport à x .
Ton résultat de cette dérivée 2/2.x ou encore mieux aprés simplification par 2 donne 1/x est correct .
-**)la dérivée de la fonction exp(v(x)) est v'(x).exp(v(x)),sachant que v'(x) est la dérivée de v(x) par rapport à x .
Tu poses v(x)= - 2.x (fonction affine) ,tu calcules la dérivée v'(x)=... ?puis tu remplaces v'(x) et v(x) dans la formule précédente et tu obtiens la dérivée de la fonction exp(-2.x)?
-***)la dérivée de la fonction f(x)=ln(2.x)-exp(-2.x)est donc la somme de la dérivée de ln(x) et de la dérivée de - exp(-2.x )?
bon courage .

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 11-09-2012 à 17:53:41 (S | E)
donc quand x tend vers 0 la limite est - 00
en ce qui concerne la dérivée de f(x)
f'(x) = 2/2x - (-2 x e(-2x) + e(-2x) )
f'(x) = 1/x - ( 2/2x . e (-2x))
j'avoue que je doute
merci de l'aide

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 11-09-2012 à 18:25:55 (S | E)
1)La réponse pour la limite est correcte
2)Le calcul de la dérivée de la fonction e(-2.x) est faux .
Applique correctement la formule suivante :la dérivée de la fonction e(u(x)) est u'(x).e(u(x)) où u'(x) est la dérivée de u(x) .
Voilà un exemple :la dérivée de e(-5.x) est -5.e(-5.x).C'est à dire le produit de la dérivée de (-5.x) qui est -5 et de e(-5.x).
Applique la même chose pour la fonction e(-2.x)? Bonne suite .

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 11-09-2012 à 18:56:45 (S | E)
donc cela donne f'(x) = 1/x - ( -2 e (-2x))

pour la résolution de l'équation f(x) ln(2x) - e (-2x) = 0
cela reviens a dire que ln(2x)= e(-2x)
pour la résolution de l'équation la calculatrice donne 0.537744...ce qui correspont au résultat de a compris entre 0.5 et 1
on demande un encadrement de a d'amplitude 10 puissance -1
merci a vous

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 11-09-2012 à 19:55:50 (S | E)
*le calcul de la dérivée est bien fait .Le résultat f'(x) = 1/x - ( -2 e (-2x)) est correct sauf qu'il faudrait sa forme la plus simplifiée possible (en réduisant le - (- par +) ce qui revient à écrire définitivement f'(x) = 1/x + 2 e (-2x)
**Encadrer un nombre c'est indiquer deux valeurs entre lesquelles ce nombre est compris .
Donc donner un encadrement de a=0,537744 au dixième près : 0,5 < a < 0,6 .Bon courage

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 11-09-2012 à 20:14:29 (S | E)
merci beaucoup de votre aide wab51

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 11-09-2012 à 21:36:24 (S | E)
C'est bien gentil et merci à toi aussi et bravo

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 12-09-2012 à 14:41:16 (S | E)
c'est encore moi toujours avec ce sujet f(x) = ln(2x) - e puissance -2x
rappel: f(x)= -00 quand x tend vers0
f(x) = + 00 quand x tend +00
derivée f'(x) = 1/x + 2e (-2x)
g(x)=ln2x
equation de f(x)= 0 admet solution unique (a) compris entre 0.5 et 1 a la calculatrice 0.537744
C courbe de f(x) et t la courbe de (f(x)-g(x))
et les droites d'équation x=n et x=n+1
comment calculer en unité d'aire, l'aire An de n étant un entier naturel non nul montrer que la suite an est une suite géométrique et préciser le terme de a1 et la valeur de sa raison q?
j'a voue que la je nage merci de bien vouloir m'expliquer la démarche ou bien des exercice me permettant de comprendre
merci pour tout

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 12-09-2012 à 16:26:09 (S | E)
j'ai fait une erreur d'utilisation de TI 83 pour a car a = 0.6549
de plus la calculatrice me donne = 12/1+3e puissance (x/2)(correspondant a la suite du devoir) , 1*10puissance - 13 , 1/5000000,
ln(2*10)-e puissance -2*10, ln(2*9)-e puissance (-2*9)
a quoi cela correspond t'il?

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 12-09-2012 à 22:27:34 (S | E)
Bonsoir romuald8 :Tout s'est bien passé pour la 1ere partie du problème .
J'ai quand même remarque en ce qui concerne l'encadrement de a ?
En fait ,ce n'est pas le calcul qui te donne la valeur de a (calculatrice?).Tu as oublié de donner que l'énoncé disait" a compris entre
0,5 et 1 ? Dans ses nouvelles conditions ,tu appliqueras directement "le théorème des valeurs intermédiaires " pour prouver que l'équation
ln(2.x)- e(-2.x)=0 admet une et une seule solution comprise entre 1/2 et 1 .
Autrement dit l'encadrement de a au dixième près serait : 0,5 < a < 1 .

2ième remarque : Il te manque des données et la phrase est incomplète dans "l'aire An?...De quelle aire s'agit il? comprise entre quoi et quoi?
Veux tu bien me confirmer ses données ? Bonne continuation

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 13-09-2012 à 22:38:27 (S | E)
Bonsoir, suite de l'exercice ( f(x) = ln(2x)-e puissance -2x sachant que a = 0.6549
voici les données soit T la représentation graphique de g définie sur 0;+00 par g(x) = ln(2x)
interpreter géométriquement le résultat de la lim (f(x)-g(x))quand x tend +00 ? et etudiez la position relative des courbe C et T ?
n étant un entier naturel non nul soit triangle(n) la partie du plan délimitée par les courbes C et T et les droites d'équation x=n et x=n+1
calculez en unité d'aire, l'aire de a(n) et triangle(n), montrer que la suite (an) est une suite géométrique, prèciser son premier terme a1 et la valeur de sa raison q
puis il est demander n etant un entier naturel non nul soit E(n) la partie du plan délimitée par les courbes C et T et les droites d'équations x=1 et x=n
Calculez en unité d'aire, l'aire A(n)de E(n)
voila recopier mot a mot
merci pour les explications j'ai besoin de comprendre

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 14-09-2012 à 13:43:18 (S | E)
Bonjour romuald :*Je reviens sur l'encadrement de a =0,6549 ,l'encadrement de a au dixième prés est 0,6 < a <0,7 .
Reprenons la suite avec cette question :
interpreter géométriquement le résultat de la lim (f(x)-g(x))quand x tend +00 ? et etudiez la position relative des courbe C et T ?

*Tu peux déjà penser à tracer les deux courbes (C) de f et (T) de g .
*Calcul la lim (f(x)-g(x))quand x tend +00 ? Essaie de donner une interprétation de ce résultat ? C'est simple .En observant le tracé des deux courbes (C) et (T) cela pourra t'aider à l’interprétation géométrique?Et pour te mettre encore un peu sur la voie :
Quand x tend vers +oo ,cela veut dire quand les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes .Que se passe t-il dans cet intervalle de valeurs de x très ,trés grandes entre la courbe (c)et la courbe (T)?

**Étudier la position des courbes (C) et (T)?
Cela revient à étudier le signe de la différence entre f(x) et g(x) c'est à dire le signe de (f(x)-g(x)).
1)A quoi est -elle égale cette différence ?
2)Étudie son signe ?(c'est à dire le signe de ce résultat est -il strictement positif ou strictement négatif ? )
3)En fonction du signe du résultat ,que peut -on déduire de la courbe (C) par rapport à la courbe (T)?
(un petit rappel :si le signe est + alors (C) se situe au dessus de (T);et si le signe - alors (C) se situe au dessus de (T))
Je te laisse faire ce travail ,et tu pourras toujours poster tes résultats pour voir et continuer la suite .Bon courage et bravo .

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 14-09-2012 à 14:13:06 (S | E)
Tout juste pour te signaler "une petite erreur de frappe "dans l'avant dernière phrase :
(un petit rappel :si le signe est + alors (C) se situe au dessus de (T);et si le signe - alors (C) se situe au dessous de (T)).Merci et bonne continuation

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 15-09-2012 à 11:33:17 (S | E)
bonjour
voila ce que j'en déduit la lim en 0;+00 de f(x)-g(x)=+00 car lim de ln(2(x)-ln(2x) = +00 et la lim de - e(-2x) = + 00
donc cela veut dire que C est en dessous de T
donc cela veut dire que ln(2x)croit plus vite que -e(-2x)donc la courbe T est au dessus de C
merci

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 15-09-2012 à 13:30:17 (S | E)
Bonjour :Malheureusement ,tes tentatives sont fausses .Tu n'as pas compris les éléments de support de la marche à suivre .Ce n'est pas un problème . J'essaierai d'etre explicite et claire .
1) Quand x→ $+\infty$ , $lim\left[ln(2.x)-e^{-2.x} -ln(2.x)\right]=lim\left(-e^{-2.x} \right)=0$
2) Interpretation géométrique du résultat : *les courbes représentatives (C) et (T) respectivement des fonctions de f et de g sont asymptotes ,ou que la courbe (C) est asymptote à la courbe (T) ou bien que la courbe (T) est asymptote à la courbe(C) . (en pratique ,pour les valeurs assez grandes de x ,les deux courbes représentent entre elles un écart infinitisimal ,on peut les voir ou les considérées comme confondues ).
3)Pour plus de clarté ,j'ai essayé de rejoindre le schéma de la représentation graphique des deux courbes mais hélas!je n'ai pas réussi à le faire .Je ne sais ,si Mr logon ,notre ami est là ,notre spécialiste pour ce genre de travail ,aura la gentillesse de nous lire et nous faire tracer les deux courbes : la courbe (C) a pour fonction f(x)= $ln(2.x) -e ^{-2.x}$ et la courbe (T) a pour fonction g(x)= $ln(2.x)$ . (ou quelqu'un d'autre ). Bonne suite et à suivre .

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 15-09-2012 à 13:58:21 (S | E)
4°)Etude de position entre les deux courbes (C) et (T) ?
Comme cela fut expliqué dans mon avant dernier message , on étudie le signe de $\left[f(x) - (g(x) \right]=\left[ln(2.x)-e^{-2.x} -ln(2.x)\right]=-e^{-2.x}=-\frac{1}{e^{2.x}}$ . Etant donné que $\frac{1}{e^{2.x}}$ est strictement posisitif ,pour tout x réel .On conclut que - $\frac{1}{e^{2.x}}$ est strictement négatif et donc la différence $\left[f(x)-g(x) \right]\prec0$ ou encore $f(x) \prec g(x)$ . On en déduit que la courbe (C)
de $f$ se situe en dessous de la courbe (T) de $g$ . (voir schéma ).
*La 4ieme partie du probléme suivra après (prendre un peu mon souffle) .Bon courage .

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 15-09-2012 à 14:14:56 (S | E)
Donc c'est pour cela que sur le graphe on ne distingue pas deux ligne elles sont identiques ( on apercoit juste un épaississement de la courbe)
la limtite de (f(x)- g(x)) = 0 car ln(2x) - e(-2x) - ln(2x) = -e(-2x)
la limite de en +00 de - e(-2x) = -1/ex = 0 et ln(2x)-ln(2x)=0
donc les courbes C et T se confondent on dit qu'elles sont asymptotes tout cours ou ?

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 15-09-2012 à 14:30:41 (S | E)
RE
j'ai un peu de mal mais je comprends que C soit en dessous de T par apport a - e(-2x) qui est négatif

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 15-09-2012 à 16:15:11 (S | E)
Voilà ,extra .Il semble que tout est clair .Je vois que tu as bien compris.C'est ainsi les maths .Tout semble dans l'ombre ou dans le noir pour qu'après en réfléchissant et en raisonnant un peu ,tout se met au diapason .Je vois que tu étais arrivé tout seul à faire le schéma . BRAVO Romuald .
Pour la 4iéme et dernière partie :
Quelques éléments pour t'aider un peu à essayer de répondre aux questions " d'aire An" ?,"suite géométrique "?,...
* la primitive de -exp(-2.x) est H(x)=1/2 .exp(-2.x)+ c (c'est une constante arbitraire ).Tu auras besoin de cette primitive pour le calcul de l'aire An.
**Pour démontrer que la suite An est suite géométrique ,il faut calculer le rapport de deux termes successives A(n+1) / An et voir que ce rapport est constant et égal à ? .
Bonne suite et bonne fin .

Réponse: Dérives et limites de romuald8, postée le 16-09-2012 à 18:39:20 (S | E)
bonjour j'ai étudier pour l'aire et voila ce qu'il en resulte la primitive de f(x)ln(2x)-epuissance (-2x) donne F = ln(2x)+1/2e(-2x)
cela donne sur l'intervale 0,1 soit ln(2 x 1)+1/2 e (-2 x 1) - ln(2x0)+ 1/2e(-2x0) = 0.1 a peu près d'unité d'air j'avoue que je suis pas sur
x ne doit pas être égal a 0
merci encore de votre aide

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 17-09-2012 à 23:00:04 (S | E)
Bonsoir :Cette 4ieme partie du problème est un peu délicate .Je vous invite à reprendre une révision sur les intégrales,les primitives,les calculs d'aire pour une portion de courbe .
les suites géométriques .
-1)Calcul de l'aire a(n)?
$a(n)=\int_{n}^{n+1} \left[g(x) - f(x) \right]dx = \int_{n}^{n+1}e^{-2x}dx =-\frac{1}{2}\int_{n}^{n+1}d(e^{-2x})$
$a(n)=-\frac{1}{2}(e^{-2n-2} - e^{-2n})=\frac{(1-e^{-2})}{2}.^{e^{-2n}}$

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 17-09-2012 à 23:25:51 (S | E)
2)Montrons que (an)est suite géométrique ?Calcul du 1er terme a1?Calcul de la raison q?
Pour tout n naturel non nul : $\frac{_a{n+1}}{_a{n}}=e^{-2}=\frac{1}{e^{2}}$ ,le rapport entre deux termes successifs de (an) est constant .La suite est donc une suite géométrique de raison $q=e^{-2}$ $=\frac{1}{e^{2}}$ .
b) Calcul de a1? $a1=\frac{1 - ^{e^{-2}}}{2.e^{2}}$ ,c'est la valeur du 1er terme de la suite géométrique (an) .
*Voilà ,je vous félicite pour votre pertinence et votre passion à ce sujet interessant .Vous aviez bien participer par vous meme sur les 3 grandes premières parties de ce problème
Je vous remercie et je vous souhaite une excellente réussite .Bonne nuit .

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 18-09-2012 à 15:55:24 (S | E)
Bonjour :Pardon,je m'en suis rendu qu'à l'instant ,il restait encore une dernière .3)Calcul de l'aire A(n) de E(n) ?
Pour
cette question ,il y'a 2 méthodes ,on peut utiliser le calcul par les
intégrales ou la somme des (n-1) termes de la suite géométrique .
1)1ière
méthode .(le calcul précédent reste valable ,il suffit simplement de
changer les bornes de l'intégrale au lieu de n à (n+1),il faut prendre
de 1 à n.Tout calcul fait :
$A(n)=\frac{e^{-2} - e ^{-.2n}}{2}$
2)2ième
méthode :Calcul de la somme des (n-1) de la suite géométrique de 1er
terme a1(calculé précédemment ) et de raison q(calculé précédemment) :
$A(n) = a1 . \frac{(1- q^{(n-1)})}{(1 - q)}$ .Aprés avoir remplacé a1 et q par leurs valeurs ,le résultat final est : $A(n)=\frac{e^{-2} - e ^{-.2n}}{2}$ .Les deux méthodes coincident et donnent le meme résultat .
Bon courage . Au plaisir et à la prochaine .

Réponse: Dérives et limites de toufik1985, postée le 24-09-2012 à 10:56:26 (S | E)
Bonjour à tous et j'aimerais bien je vous donner mon avis à propos du sujet!
1- le calcul des limites est totalement faux, il y a plusieurs méthodes de calcul les limites soit par la décomposition de la fonction, changement de variable, la règle d'hopital dans quelques cas des fonctions célèbres comme la limite de xlnx tant que $x\rightarrow0$ , et aussi le développement limite.
pour cette fonction le calcul de limite se fait simplement par une petite modification de la fonction en question!
2- mes collègues ont répondu d'une façon claire et bonne à propos de la dérivée de la fonction.
bon courage!
-------------------
Modifié par bridg le 03-10-2012 21:16

Réponse: Dérives et limites de wab51, postée le 24-09-2012 à 12:39:44 (S | E)
Bonjour toufik 1985-Bonjour à tous .
Je ne sais en quoi cette intervention de votre part pourrait être utile sur une question se référant en toute première de toutes les questions de ce long sujet? Je vous invite cordialement à bien lire minutieusement toutes les étapes de raisonnement contenues dans chaque message .
Votre déclaration " le calcul des limites est totalement FAUX"? ,sans donner la moindre justification ,sans le moindre détail ou preuve ,est complétement aléatoire et porte préjudice de doute .Je vous rappelle que cette question de limite a été parfaitement traitée et bien comprise par le membre concerné "romuald"(voir message du 11/09/2012 à 17h53'34").
Et pour ce qui est de calcul .Là encore vous vous êtes trompé ,étant donné qu'aucun "calcul" détaillé ou non n'a été fait ,mais une remarque a été porté sur le résultat donné comme faux et qu'il fallait signaler cette erreur pour apporter la correction et la réponse adéquate .C'est ce qui a été entrepris et fait par le membre concerné .
Et à propos "des différentes méthodes que vous proposez".Là aussi ,vous avez pris les choses à l'envers .Certaines de vos propositions ne peuvent être appliquées ou être utilisée ici tout simplement elles contredisent les hypothèses de ses règles ( par exemple la règle de l'hospital ne peut s'appliquer pour ce cas de figure ,le cas n'est pas un cas indéterminé 0/0 ou 00/00 ,...).
Pour terminer ,nous rassurez "romuald" pour son travail soigné et bien fait .
Cordialement

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