Learn French 100% free Get 1 free lesson per week // Add a new lesson
Log in!

> Log in <
New account
Millions of accounts created on our sites.
JOIN our free club and learn French now!




Get a free French lesson every week!

  • Home
  • Contact
  • Print
  • Guestbook
  • Report a bug


  •  



    Problème de récurrence

    Cours gratuits > Forum > Forum maths || En bas

    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Problème de récurrence
    Message de morpheus21 posté le 25-09-2011 à 12:14:52 (S | E | F)
    Bonjour,
    Je m'entraîne à la récurrence.
    Je fais cet(te) exercice :
    Montrer que pour tout enter naturel n (4^n)-1 est un multiple de 3.
    J'ai commencé comme ceci :
    Initialisation :
    pour n = 1, (4^n)-1=3 c'est bien un multiple de 3. La proposition est donc vraie pour n=1.
    Hérédité:
    On suppose que la proposition est vraie pour n = k avec k un entier supérieur ou égal à 0 soit (4^k)-1 est un multiple de 3 (hypothèse de récurrence).
    Montrons alors que pour n = k+1 on obtient aussi un multiple de 3.
    c'est à dire montrons que (4^k+1) -1=3a avec a un entier naturel.
    C'est là que je bloque.
    J'ai brouillonné ça :
    (4^k+1) -1 = (4^k)*4-1
    Et je cherche un résultat du genre ...=(4^k-1)*?? etc.

    Merci de vos futures réponses.
    -------------------
    Modifié par bridg le 25-09-2011 12:22


    Réponse: Problème de récurrence de morpheus21, postée le 25-09-2011 à 12:34:47 (S | E)
    Re,(désolé pour le double-post)

    J'ai trouvé un exercice du même type ils l'ont résolu comme ceci :

    On a donc (4^k)-1=3a -> (4^k)=3a+1 (hypothèse de récurrence)

    alors (4^k+1)-1=4*(4^k)-1
    =4*(3a+1)-1
    =12a+4-1
    =12a+3
    =3*4*a+3
    =3(4a+1) avec a un entier naturel.

    On en déduit que (4^k+1)-1 est bien un multiple de 3.

    Conclusion

    La proposition est vraie donc pour tout n appartenant a grand N 4^n-1 est un multiple de 3.




    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Cours gratuits > Forum > Forum maths