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    DM/ équation différentielle

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    DM/ équation différentielle
    Message de laury97 posté le 09-01-2011 à 18:53:24 (S | E | F)
    Bonjour.
    J'ai vraiment besoin d'aide svp s'il vous plaît, je suis complètement largué perdu en plus ya je ne trouve pas une seule personne pour m'aider.
    Merci à vous.

    Exercice 1
    A. On considère l’équation différentielle . (E) : y′ + y = e−x (-x en exposant)
    1. Montrer que la fonction u : x → xe−x (-x en exposant) définie sur R est solution de l’équation différentielle (E)
    2. On considère l’équation différentielle (E’) : y′ + y = 0. Résoudre l’équation différentielle (E’)
    3. Soit v une fonction définie et dérivable sur R .Montrer que la fonction v est solution de l’équation
    différentielle (E) si et seulement si la fonction v − u est solution de l’équation différentielle (E’)
    4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E)
    5. Déterminer l’unique solution g de (E) telle que g(0) = −3
    B. On considère la fonction fk définie sur R par fk(x) = (x + k)e−x (-x en exposant) où k est un nombre réel donné.
    On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthogonal.
    1. Montrer que la fonction fk admet un maximum en x = 1 − k
    2. On note Mk le point de la courbe Ck d’abscisse 1 − k. Montrer que le point Mk appartient à la
    courbe �� d’équation y = e−x (-x en exposant)
    3. Étudier la fonction g définie sur R par g(x) = (x − 3)e−x (-x en exposant)
    (Étude complète : limites , variations puis courbe ; libre à vous de rechercher des points particuliers
    avec leurs tangentes)
    Exercice 2
    1. En posant z = a + ib Résoudre dans C l’équation z²
    − 4z = 2z − 8
    2. Placer les points dont les affixes sont solutions de l’équation en justifiant votre construction
    (sous entendu : vous ne devez pas vous contenter de valeurs approchées)
    Exercice 3
    1. On considère la suite (Un) définie par : U0 = 0 et pour tout n ∈ N Un+1 = −2/3.Un + 10
    On pose , pour tout entier naturel n, Vn = Un − 6
    (a) Pour tout entier naturel n calculer Vn+1 en fonction de Vn. Quelle est la nature de la suite
    (Vn) ?
    (b) Exprimer Vn en fonction de n puis Un en fonction de n
    (c) Étudier la convergence de la suite (Un)
    2. On considère la suite (Wn) dont les termes vérifient , pour tout entier naturel non nul
    nWn = (n + 1)Wn−1 + 1 et W0 = 1
    (a) Calculer les premiers termes de cette suite
    (b) Conjecturer la nature de cette suite
    (c) Démontrer par récurrence cette conjecture
    -------------------
    Modifié par bridg le 09-01-2011 18:54


    Réponse: DM/ équation différentielle de walidm, postée le 09-01-2011 à 19:37:43 (S | E)
    Bonjour.
    Montre ce que tu as trouvé. On verra où sont tes difficultés.



    Réponse: DM/ équation différentielle de taconnet, postée le 11-01-2011 à 09:53:37 (S | E)
    Bonjour.

    Vous avez écrit :

    Exercice 2
    1. En posant z = a + ib. Résoudre dans C l’équation z²− 4z = 2z − 8


    Êtes-vous sûr qu'il s'agit de cette équation ?

    z² -4z = 2z -8 <══> z(z -4) = 2(z -4) <══> (z -4)(z -2) = 0

    Donc 2 solutions réelles

    z = 2 et z = 4 !

    Ainsi la question suivante :

    2. Placer les points dont les affixes sont solutions de l’équation en justifiant votre construction
    (sous entendu : vous ne devez pas vous contenter de valeurs approchées)


    est dénuée de sens.



    Exercice I

    Voici un lien:

    Lien Internet



    Exercice III

    Calculer Vn+1


    Vn+1 = Un+1 - 6

    or

    Un+1 = (-2/3)Un + 10 = (-2/3)( Vn + 6) + 10 = (-2/3) Vn + 6


    en remplaçant Un+1 par cette valeur dans l'égalité précédente vous obtenez une relation entre Vn et Vn+1

    Il s'agit bien d'une progression géométrique.





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