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    Fonction ln

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    Fonction ln
    Message de mathjulie posté le 01-01-2011 à 20:41:28 (S | E | F)
    Bonjour, j'ai un exercice à faire et mais je ne suis pas sure de toutes mes réponses, pourriez vous les vérifier? Voici l'énoncé:

    Soit h(x) = (lnx + xe ) / (x au carré) Dh=]0;+infini[

    et i(x)= -2lnx -xe +1 Di=]0;+infini[

    on entend par xe= x. exp(1)

    1) Limite de i en 0 et +infini :

    Réponse: par somme de limite lim i(x) quand x tend vers 0 en lui étant supérieur est +infini
    par somme de limite lim de i(x) quand x tend vers +infini est -infini


    2) Variation de i:

    Réponse:
    -2lnx est dér'ivable sur ]0;+infini[
    xe est dérivable sur R
    donc i est dérivable sur ]0;+infini[

    i'(x)= - (2+xe) / x
    or pour tout x de Di x>0 donc i' est du même signe que le numérateur
    or 2+xe >0 donc -(2+xe) <0
    donc i'(x) < 0

    donc i est strictement décroissante sur ]0;+infini[

    je dois bien mettre une double barre en 0 dans mon tableau de variation ?

    3) je montre que i(a)=0, que a appartient à [0,5;1] je trouve a à 0,1 près

    Ma réponse: j'utilise le théorème de la bijection et donc i(a)=0 admet une unique solution sur ]0;+infini[
    ensuite j'utilise la calculatrice (méthode par balayage) et j'obtiens que 0,6
    4) Tableau de signe de i

    Ma réponse: sur ]0;a[ i(x) >0
    sur ]a;+infini[ i(x) < 0

    6) limite de h aux bornes de son ensemble de définition

    Ma réponse: par quotient de limite lim de h(x) quand x tend vers 0 en lui étant supérieur est - infini

    et lim de h(x) quand x tend vers + infini est 0 car:

    h(x)=(1/x) ((ln x)/x) + (e/x)

    et quand x tend vesr +infini lim (1/x) =0 lim (ln x /x) =0 et lim (e/x)=0

    7) je dois montrer que h'(x) = ( i(x) ) / (x^3)

    Ma réponse: ln x dérivable sur ]0;+infin[
    xe dérivable sur r
    1/(x au carré) dérivable sur R*
    donc h dérivable sur ]0;+infini[

    et après calcule j'ai réussi à retrouver ce qu'on veut

    et ensuite je dois donner son sens de variation

    Ma réponse: pour tout x appartient à Dh, x>0 donc x^3 >0
    donc h' du même signe que i

    donc sur ]0;a[ h'(x)>0 donc h strictement croissante
    et sur ]a;+infini[ h'(x)<0 donc h strictement décroissante

    et dans mon tableau de variation je mets bien la double barre en 0 ?

    en fin je dois faire sa représentation graphique

    Merci d'avance



    Réponse: Fonction ln de dadil, postée le 02-01-2011 à 03:16:05 (S | E)
    Salut,

    Tout semble correct. Comme toute les fonctions en présence ne sont pas définies en 0, il faut bien sûr mettre les double barres.

    Cordialement



    Réponse: Fonction ln de mathjulie, postée le 03-01-2011 à 19:22:53 (S | E)
    D'accord, merci beaucoup de votre aide




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