Learn French 100% free Get 1 free lesson per week // Add a new lesson
Log in!

> Log in <
New account
Millions of accounts created on our sites.
JOIN our free club and learn French now!




Get a free French lesson every week!

  • Home
  • Contact
  • Print
  • Guestbook
  • Report a bug


  •  



    Fonction auxiliaire

    << Forum maths || En bas

    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Fonction auxiliaire
    Message de charlemagne91 posté le 07-11-2010 à 17:19:21 (S | E | F)
    Bonjour, pouvez vous m’aider s’il vous plait pour ce devoir car je n’arrive pas à tout faire. Merci d’avance.
    Soit f(x)=(1/4)x^4 -2x^3 +(7/2)x^2+4x-8

    Partie A ; fonction auxiliaire :
    g(x)= x^3-6x^2+7x+4
    1) lim en +oo et –oo : j’ai réussi
    2) pourquoi g est dérivable, trouver g’
    J’ai dit : g est composée de fonctions dérivables, elle l’est. C’est ça ? g’= 3x^2-12x+73) sens de variation : j’ ai : croissante, décroissante , croissante
    4) montrer que g(2+r)=2-5r+r^3 (c’est bon). En déduire que g admet un minimum local égal à 2+(10 racine de15)/9 et un minimum en 2-(10rac 15)/9
    là je ne comprend pas. Pouvez vous me le faire pour le minimum et je le ferai pour le maximum ? 5)montrer que g s’annule en trois réels (cTVI c’est bon)
    7) étudier le signe de g : j’ai de gauche à droite : _/o/+/+/o/_/_/o/+

    Pouvez-vous m’aider s’il vous plait ? je posterai la suite bientôt
    Merci d’avance !
    charlemagne


    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 07-11-2010 à 17:40:16 (S | E)
    Partie B :
    Etude de f :
    1) les limites en + et – oo (c’est bon)
    2) la courbe représentative de f a-t-elle des asymptotes ?
    je ne sais pas du tout comment faire car il y a les verticales x=…, les horizontales :y= …et les obliques et je n’en vois pas !
    3)a) justifier que f’ existe et trouver f’
    J’ai dit que f est composée de fonctions dérivables donc elle l’est et f’ est la dérivée. F’=x^3-6x^2+7x+4
    b) donner un encadrement de f de alpha (le premier des réels où g s’annule)
    -O,42 Là, je fais f(-o,42) ou l’autre et pourquoi ?
    Car il faut choisir dans la consigne si on prend par excès ou par défaut et justifier.
    c) dire le sens de variations de f . Comme f’ = g j’ai (décroissante/Croissante/C/D/D/C
    4) déterminer T1 tangente en abscisse 4
    T1 : y=0 ?
    En déduire une factorisation de g(x) puis les trois réels alpha, béta, gama,(leur valeur exacte)
    Là j’ai commencé par voir que 4 est l’une des racines du polynôme de degré 3 (g)
    Est-ce que c’est a(x-4)(x-x2)(x-x3) ?
    Après je n’aboutis jamais…
    1) a) déterminer une équation de T2 tangente à C en abscisse 2 :
    T2 :y= 2x-2
    b) étudier les positions relatives de C et T2 en factorisant par (x-2)^2
    est-ce que c’est f(x)-[2x-2] que je factorise ? Si c’est cela comment faire ?
    Merci de votre aide.
    Cordialement
    charlemagne



    Réponse: Fonction auxiliaire de taconnet, postée le 07-11-2010 à 19:20:26 (S | E)
    Bonjour.

    Les fonctions g et h définies par:

    g : x──>g(x)
    et
    h : x──>g(x+2)

    ont des représentations graphiques qui se déduisent l'une de l'autre par une translation d'axe Ox(axe des abscisses)

    Pour étudier les extrema de h(x) = x³ - 5x + 2, il faut dériver h.

    h'(x) = ....

    On trouve 2 valeurs notées a et b

    Pour trouver les extréma on calcule

    h(a)=...
    h(b)=...

    Ce sont aussi les extréma de la fonction g.


    Je pense que vous avez remarqué que x³-6x²+7x +4 = 0 admet la racine évidente
    x = 4

    donc

    x³ - 6x² +7x +4 = (x-4)(x² + kx - 1)

    On détermine facilement la valeur de k
    et on peut ainsi factoriser

    x³ - 6x² +7x +4 = (x-4)(x -u)(x-v)

    u et v se calculent très facilement.

    Notez aussi que les fonctions f , g , h sont dérivables parce que ce sont des fonctions polynômes.

    Il n'y a donc pas d'asymptotes. Il n'y a que des branches infinies.


    En ce qui concerne le signe g(x), il faut noter les intervalles sur lesquels la valeur g(x) est positive , négative.

    les intervalles sont:
    ]-∞ ; u[ ──> g(x) < 0

    ]u ; v[ ──> g(x) > 0

    ]v ; 4[ ──> g(x) < 0

    ]4 ; +∞[ ──> g(x) > 0



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 08-11-2010 à 19:38:32 (S | E)
    Bonsoir Taconnet, merci de votre aide.
    Pour les extrema:
    h'(x)=3x^2-5
    a=3
    b=-5
    h(3)=14 et h(-5)=-98 mais là je ne retrouve pas les extrema 2+(10rac15)/9 et 2-(10rac15)/9
    quelle est mon erreur?
    (de même, ce sont les mêmes car la translation qui passe de h à g est horizontale? )
    Merci de votre aide.



    Réponse: Fonction auxiliaire de taconnet, postée le 08-11-2010 à 19:49:18 (S | E)
    Bonjour.

    La dérivée de la fonction h est :

    h'(x) = 3x²-5

    les extréma sont obtenus quand h'(x)=0

    3x² - 5 = 0 <══> x = ± √(5/3)

    On obtient:

    a = √ (5/3)
    b = -√ (5/3)



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 08-11-2010 à 20:01:06 (S | E)
    Merci, j'ai compris et réussi ! Je vais voir la suite.



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 08-11-2010 à 20:13:37 (S | E)
    en fait, je trouve (rac 15)/3 et (-rac15)/3 comme solutions de h'=O
    delta = 2rac 15?



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 08-11-2010 à 20:25:27 (S | E)
    et comment je trouve k ? je développe (x-4)(x2+kx-1)?



    Réponse: Fonction auxiliaire de taconnet, postée le 08-11-2010 à 22:47:34 (S | E)


    Comment trouver k ?

    On développe

    (x-4)(x² + kx -1) et on identifie.



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 09-11-2010 à 12:44:25 (S | E)
    Merci beauoup. Je vais le faire ce soir et je vous l'envoie.
    Bonne après midi
    charlemagne



    Réponse: Fonction auxiliaire de chokai, postée le 09-11-2010 à 18:56:21 (S | E)
    c'est quelle niveau 4eme ou 3eme ou 2nd



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 09-11-2010 à 19:37:49 (S | E)
    Bonsoir chokai,
    les identités remarquales sont du niveau 3e, les polynômes de première et les identifications de première également. J'espère avoir répondu à votre question. Et connaître sa date de naissance,n'est-ce pas acquis dès la maternelle?



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 09-11-2010 à 21:30:49 (S | E)
    Bonsoir Taconnet, je trouve k= -2



    Réponse: Fonction auxiliaire de taconnet, postée le 09-11-2010 à 21:38:45 (S | E)
    Bonjour.

    C'est exact.

    (x-4)(x² -2x -1) = (x-4)[(x-1)²-2)
    on écrit
    (x-1)² - 2 = (x-1)² - (√2)²
    et on utilise l'identité a² -b² = (a+b)(a-b)



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 09-11-2010 à 21:41:31 (S | E)
    Pendant que vous écriviez j'ai trouvé:
    g=(x-4)(x-(1-2rac2))(x-(1+2rac2))




    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 09-11-2010 à 21:43:01 (S | E)
    comme les trois réels sont croissant:
    alphagama
    donc ici alfa=1-2rac 2
    beta=1+2rac 2
    gama=4
    est-ce bon ?
    merci de votre aide



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 09-11-2010 à 21:48:54 (S | E)
    Il me reste deux questions: comment je sais si je prend une valleur approchée de alpha par défaut ou excès? j'ai du me tromper avant car 1-2rac 2 ne fait pas -0,4...
    comment j'étudie les positions de C et T2 ?



    Réponse: Fonction auxiliaire de taconnet, postée le 09-11-2010 à 21:49:18 (S | E)
    Pourquoi 2√2 ?

    (x-1)² - (√)²= (x-1 +√2)(x-1 -√2)

    x' = 1 + √2
    x" = 1 - √2 (x" < 0)



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 09-11-2010 à 21:51:32 (S | E)
    Mais oui, ça marche. je ne sais pas pourquoi j'ai rajouté un 2...merci



    Réponse: Fonction auxiliaire de taconnet, postée le 09-11-2010 à 22:28:53 (S | E)
    L'équation de la tangente à C au point d'abscisse x=2 est bien y = 2x - 2

    Il faut donc étudier le signe de f(x) - (2x -2)

    C'est à dire le signe de

    (1/4)x^4 -2x^3 +(7/2)x^2+4x-8 -2x +2 =(1/4)x^4 -2x^3 +(7/2)x^2+2x-6

    On factorise cette expression en remarquant que l'on peut l'écrire :

    (x - 2)²(ax² + bx + c) car la tangente coupe la courbe en deux points confondus.

    Pour trouver a b c on procéde par identifcation.

    Ensuite on factorise ax² + bx + c et on dresse un tableau des signes pour déterminer le signe f(x) - (2x -2)

    j'ai trouvé

    x' ≈ -1.16
    x" ≈ 5.16

    résultats

    si x ∈ ] -∞ ; x' [ la courbe est au-dessus de la tangente.

    si x ∈ ] x' ; x" [ la courbe est au-dessous de la tangente.

    si x ∈ ] x' ; +∞ [ la courbe est au-dessus de la tangente.



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 10-11-2010 à 13:24:46 (S | E)
    Merci j'ai trouvé a, b et c (1/4, -3/2 et -1)
    est-ce que je peux étudier le signe du polynône directement sans factoriser?



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 10-11-2010 à 13:28:59 (S | E)
    Oui, je trouve pareil. la valeur exacte de x' est 2-rac10 et je vais trouver x''
    merci



    Réponse: Fonction auxiliaire de taconnet, postée le 10-11-2010 à 13:31:36 (S | E)
    Bonjour.

    Bien entendu.
    Mais il faudra étudier le signe du tinôme ax² + bx +c.
    En ce qui concerne x' et x" on trouve bien 2 -√10 et 2 + √ 10.

    J'avais donné des valeurs approchées pour vous contraindre à faire les calculs.
    C'est bien !



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 10-11-2010 à 13:37:26 (S | E)
    le trinôme est positif de ]-oo; 2-rac10]
    négatif de 2-rac 10 à 2+ rac 10
    positif de 2+rac 10 à +oo
    il s'annule en x' et x''
    puis comme (x-2)² s'annule en 2 on fait le tableau. est-ce bon?



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 10-11-2010 à 13:41:21 (S | E)
    est-ce que l'on met :
    C et T2 se croisent en x', 2 et x''? :

    -------------------
    Modifié par charlemagne91 le 10-11-2010 13:41





    Réponse: Fonction auxiliaire de taconnet, postée le 10-11-2010 à 13:41:54 (S | E)
    (x-2)² est toujours positif puisque c'est un carré.

    Le signe de f(x) - (2x -2) ne dépend que du signe du trinôme ax² + bx + c

    Les conclusions sont là :

    le trinôme est positif de ]-oo; 2-rac10]
    négatif de 2-rac 10 à 2+ rac 10
    positif de 2+rac 10 à +oo


    On dit :

    La tangente à la courbe C au point d'abscisse 2 recoupe C en deux autres points dont les abscisses sont 2 -√ 10 et 2 +√ 10.



    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 10-11-2010 à 13:50:42 (S | E)
    et pas en 2?



    Réponse: Fonction auxiliaire de taconnet, postée le 10-11-2010 à 14:05:13 (S | E)
    C'est implicite !

    Si T est tangente à C au point d'abscisse x=2 cela signifie que T coupe C en deux points confondus d'abscisse 2.




    Réponse: Fonction auxiliaire de charlemagne91, postée le 10-11-2010 à 14:52:43 (S | E)
    D'accord merci beaucoup de votre aide.
    Ma dernière question, pourquoi on fait l'arrondi de alpha par défaut plutôt que par excès?
    merci charlemagne




    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    << Forum maths