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    Démonstraction par récurrence TS

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    Démonstraction par récurrence TS
    Message de liliroubaix posté le 04-11-2010 à 20:40:36 (S | E | F)
    Bonsoir,
    j'ai un dm de math pour demain, et il y a juste une démonstration que je n'arrive pas à faire

    Sachant que la suite est définie par récurrence :
    Un+1 = Un + n
    et que U0 = 1

    et que j'ai aussi établie précédemment une conjecture dont je suis sûre :
    Un - n = (n² - n + 2) / 2
    D'où Un = (n² + n + 2) / 2

    Alors là il faut démontrer la proposition ainsi conjecturée, et là je bloque

    Je pense qu'il faut faire une démonstration par récurrence

    On suppose que : Un = (n² + n + 2) / 2
    et on démontre que Un+1 = ( (n+1)² + (n+1) + 2 ) / 2
    c'est-à-dire que Un+1 = (n² + 3n + 4) / 2 ( après développement et simplification )

    Le problème c'est que partant de Un, je fais :
    Un + n = (n² + n + 2) / 2 + n
    D'où Un+1 = (n² + 3n + 2) / 2 (après déveloeppement et simplification)
    Or ce n'est pas ce que je devais trouver
    Si quelqu'un pouvait m'aider

    Merci d'avance



    Réponse: Démonstraction par récurrence TS de taconnet, postée le 04-11-2010 à 21:07:42 (S | E)
    Bonjour.

    Un+1 = Un + n <══> Un+1 - Un = n

    Donc

    U1 - U0 = 0
    U2 - U1 = 1
    U3 - U2 = 2
    U4 - U3 = 3
    U5 - U4 = 4
    ..................................
    ..................................

    Un-2 - Un-3 = n-3
    Un-1 - Un-2 = n-2
    Un - Un-1 = n-1
    Un+1 - Un = n

    En additionnant membre à membre ces égalités on obtient :

    Un+1 - U0 = 1+2+3+....+n = n(n+1)/2

    Un+1 = 1 + n(n+1)/2

    Soit :






    Réponse: Démonstraction par récurrence TS de liliroubaix, postée le 04-11-2010 à 22:29:03 (S | E)
    Ah oui !
    C'est beaucoup plus clair maintenant !
    Merci beaucoup




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