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    Produit scalaire démonstration

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    Produit scalaire démonstration
    Message de lordwatson posté le 28-10-2010 à 20:42:58 (S | E | F)
    bonjour, voilà, je vous soumets un exercice en maths parce que je ne vois pas comment faire.

    Exercice 32 page 238 du livre de maths 1ère S

    Soit ABC un triangle équilatéral de côté a et A' le symétrique de A par rapport à la droite (BC)

    a) calculer le produit scalaire AB . AC en fonction de a (vecteurs AB et AC) (je ne sais pas faire de flèches au-dessus des vecteurs)
    b) démontrer que pour tout point M du plan :
    MB . MC = MA² + MA . AA' + a²/2 (vecteurs MB et MC, vecteurs MA et AA' ; MA² est une longueur au carré)

    a) pour cette partie j'ai
    on sait que ABC est un triangle équilatéral donc l'angle A , B et C = 60°
    et AB = AC = BC = a (longueur)

    produit scalaire AB . AC = AB x AC x cos (vecteur AB ; vecteur AC)
    = a x a x cos 60°
    = a² x 1/2
    = a²/2

    b)
    pour la partie a) de l'exercice c'est bon mais pas pour la partie b)
    (vecteurs MB et MC, vecteurs MA et AA' ; MA² est une longueur au carré)

    il faut démontrer que produit scalaire MB . MC est égal à MA² + MA . AA' + a²/2

    (je sais que a²/2 peut être remplacé par produit scalaire AB . AC ce qui donne donc :
    MB . MC = MA² + MA . AA' + AB . AC


    Je ne sais pas quoi utiliser. Si vous pouviez m'aider ça serait bien. =)


    Réponse: Produit scalaire démonstration de walidm, postée le 28-10-2010 à 21:26:14 (S | E)

    Bonjour.
    Décomposez en utilisant les relations de Chasles.
     

    vecMC = vecMA+vecAC

    vecMB=vecMA+vec AB

    et faites les calculs:

    vecMC*vecMB=...







    Réponse: Produit scalaire démonstration de lordwatson, postée le 29-10-2010 à 12:37:23 (S | E)
    Bonjour,

    je voulais vous remercier pour l'aide que vous m'avez fourni.
    je reprends vos formules :

    MC = MA + AC
    MB = MA + AB

    ce qui donne
    MC . MB = (MA + AC) (MA + AB)
    = MA² + MA . AB + AC . MA + AC . AB
    = MA² + AC . AB + (MA . AB + AC . MA)
    = MA² + MA . (AB + AC) + AC . AB
    = MA² + MA . AA' + AC . AB

    AB + AC = AA' car ABA'C est un parallélogramme enfin, un losange et AB = AC = A'C = A'B = a



    Réponse: Produit scalaire démonstration de walidm, postée le 29-10-2010 à 16:20:59 (S | E)
    Bonjour.
    C'est ce que j'ai trouvé. En utilisant le résultat de 1) on trouve alors:

    MA² + MA . AA' + AC . AB=MA² + MA . AA' + a²/2

    Bonne chance!



    Réponse: Produit scalaire démonstration de lordwatson, postée le 29-10-2010 à 22:07:43 (S | E)
    Bonsoir,

    Merci pour votre aide. Elle m'a été précieuse =)




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