Learn French 100% free Get 1 free lesson per week // Add a new lesson
Log in!

> Log in <
New account
Millions of accounts created on our sites.
JOIN our free club and learn French now!




Get a free French lesson every week!

  • Home
  • Contact
  • Print
  • Guestbook
  • Report a bug


  •  



    Suites et propriétés

    << Forum maths || En bas

    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Suites et propriétés
    Message de charlemagne91 posté le 05-09-2010 à 15:15:01 (S | E | F)
    Bonjour,
    Un exercice me pose problème, pouvez-vous m'aider?

    1)Soit Un une suite définie sur N.
    Démontrer : si Un est arithmétique, si r est la raison, alors pour tout entier naturel n non nul :
    Un=(Un-1+Un+1)/2

    2) Soit Un tq pour tout n , Un=(Un-1+Un+1)/2
    Soit Vn = Un+1-Un
    Quelle est la nature de Vn ?

    3) la réciproque du 1) est-elle vrai ?

    4) Wn est une suite géométrique. Wo (1er terme) est positif et la raison q aussi.
    Mq pour tout n Wn= racine de Wn-1 x Wn+1

    5) réécrire la propriété précédente avec une suite géométrique de raison positive mais de 1 terme négatif

    J’ai commencé le 1)

    Un+1= Un+r
    Un= Un+1-r
    Un-1+r=Un
    Ensuite j’ai fait avec 2Un=... et ça a marché

    Par contre le 2) je bloque. Pouvez-vous m’aider un peu s’il vous plait que je puisse faire le 3) ?
    Merci d’avance .



    Réponse: Suites et propriétés de taconnet, postée le 05-09-2010 à 16:05:45 (S | E)
    Bonjour.

    1- C'est une question de cours.
    Lien Internet

    Voir le §
    Comment démontrer qu'une suite est arithmétique ?

    2- calculer Vn+1 et montrez que quel que soit n , Vn+1 = Vn

    donc
    Un+1 - Un = Cste

    3- Que dire alors de la réciproque ?(faire référence à 1-)






    Réponse: Suites et propriétés de walidm, postée le 05-09-2010 à 16:22:41 (S | E)
    Suites et propriétés
    Bonjour,
    1) on a pour n>1 : Un+1=Un+r ; Un-1=Un-r
    par addition on obtient : Un+1-Un-1=2Un donc : Un=1/2(Un+1-Un-1).
    2)Pour tout n de N: Vn=Un+1-Un
    la suite Un est arithmétique par hypothèse alors: Vn=r (la raison)nombre réel
    Et donc Vn est une suite constante.
    3)Si pour tout n : Un+1-Un=r un certain nombre réel , c'est exactement la définition Un+1=Un+r=u0+nr , Un est nécessairement une suite arithmétique.
    4)On peut écrire Wn=aq^n Alors : Wn-1*Wn+1=aq^(n+1)*aq^(n-1)=a^2q^(2n)=(aq^n)^2
    Alors : Wn= racine de Wn-1*Wn+1.
    5)Si W0<0 pour tout n Wn<0 (q>0) Avec le même raisonnement que dans la question 4 On peut écrire Wn=-racine(Wn-1*Wn+1)
    J'espère que je t'ai donné quelques idées. Bonne chance!



    Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 16:50:28 (S | E)
    Merci de votre aide à tous, taconet, votre lien est super car il y a des ex des deux méthodes...

    Donc je reprends
    1) C'est ok
    2)
    Vn+1= Un+2-Un+1
    Vn+1-Vn= O
    Donc Vn+1=Vn
    La raison vaut donc O et la suite est arithmétique et constante.

    3) je m'embrouille et je ne comprend plus, tout semble être = à O...


    Réponse: Suites et propriétés de taconnet, postée le 05-09-2010 à 16:53:57 (S | E)
    Bonjour Walidm
    Vous avez écrit :

    2)Pour tout n de N: Vn=Un+1-Un
    la suite Un est arithmétique par hypothèse alors: Vn=r (la raison)nombre réel
    Et donc Vn est une suite constante.


    Cette assertion est manifestement fausse

    Un n'est pas par hypothèse une suite arithmétique.
    C'est simplement une suite qui vérifie la relation :


    Il faut donc montrer que la suite :


    Vn = Un+1 - Un est une suite constante












    Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 17:20:36 (S | E)
    Je devrai trouver
    Vn=Un+1-Un=O
    mais je trouve
    Un+1-Un= (Un+2)/2



    Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 17:41:08 (S | E)
    je trouve un autre truc:
    Vn+1-Vn= Un+2-Un
    ça peux aider où je fais fausse route?


    Réponse: Suites et propriétés de taconnet, postée le 05-09-2010 à 18:11:25 (S | E)
    On a :

    Vn = Un+1 - Un

    Donc

    Vn+1 = Un+2 - Un+1

    Connaissant Un il faut obtenir Un+2

    On sait que :

    2Un = Un+1 + Un-1

    donc

    2Un+1 = Un+2 + Un

    soit

    Un+1 - Un = Un+2 - Un+1

    (on fait passer Un+1 dans le second membre et Un dans le premier)

    Vous noterez que:

    2Un+1 =Un+1 + Un+1

    soit finalement


    Vn = Vn+1

    Ce qui montre que Vn est constante.


    Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 18:13:38 (S | E)
    Merci vraiment ENORMEMENT !
    Je vais réfléchir à la suite!


    Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 05-09-2010 à 18:24:45 (S | E)
    Une suite constante est arithmétique de raison 0 où géométrique de raison 1 ?


    Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 06-09-2010 à 08:09:09 (S | E)
    rédaction du 3)
    Vn+1=Vn
    donc Un+1-Un=O
    c'est ne cst nulle qui répond à la déf Un+1=Un+r
    donc Un est arithmétique ce qui vérifie la propriété du 1)

    est-ce que la justification est juste?
    merci d'avance


    Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 06-09-2010 à 08:27:52 (S | E)
    Voilà le 4)
    Wn+1 = qx Wn
    Wn-1=Wn/q
    en passant Wn seul à gauche je trouve:
    Wn²=(Wn+1xWn-1xq)/q
    donc Wn=racine de Wn+1 x Wn-1
    où -racine de... est ce que je dois mettre le -racine de...et préciser que on ne met pas de - sous la racine où pas?

    et pour le 5) avez-vous un indice?
    merci d'avance


    Réponse: Suites et propriétés de walidm, postée le 06-09-2010 à 10:38:08 (S | E)
    bonjour,
    Merci taconnet pour votre remarque.
    Vn est bien une suite constante; vous l'avez montré.
    Bonne chance à tous!


    Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 06-09-2010 à 19:47:42 (S | E)
    J' ai encore fait une immense faute,
    Un+1-Un = V = cst mais pas égale à O.
    Sinon, c'est mieux, aidez-moi à fini, s'il-vous-plait...


    Réponse: Suites et propriétés de charlemagne91, postée le 06-09-2010 à 20:29:07 (S | E)
    Walidm , tu m'as aussi beaucuop aidé...Quand je dis Wo



    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    << Forum maths