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    Projeté orthogonal

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    Projeté orthogonal
    Message de mathjulie posté le 05-04-2010 à 15:01:43 (S | E | F)

    Bonjour, j'ai un exercice que je ne parviens pas à résoudre. Pourriez vous m'aider? En voici l'énoncé:

    (je n'ai pas réussi à insérer la figure)

    On a un cercle de centre O et de rayon 3, H est un point du plan tel que OH = 5 . d est la perpendiculaire à (OH) passant par H. M est un point quelcoonque de d, on a les tangentes issues de M en B et C au cercle.
    (BC) coupe (OM) en N et (OH) en I.

    a. Je dois démontrer que les droites (OM) et (BC) sont perpendiculaires.

    J'ai donc fais (toutes les longueurs que j'écris sont des vecteurs):

    OM scalaire BC = OM scalaire (BO +OC) = OM scalaire BO + OM scalaire OC
    = OB scalaire BO + OC au carré = - (OB)au carré + OC au carré
    = -9 + 9
    =0
    donc OM scalaire BC = 0 donc OM est perpendiculaire à BC

    b. On me demande ensuite de justifier les égalités suivantes: (toute ces longueur sont des vecteur sauf OC au carré):
    OI .OH = OM . OI = OM .ON = OM . OC = OC au carré = 9

    j'ai donc utilisé la projeté orthogonal (pourriez vous me dire si mes démonstration sont justes):

    - d'après le projeté orthogonal:
    OM .OI = OH .OI

    - (BC) est perpendiculaire à (OM) , les popints I et N appartiennent à (BC) donc les droites (BI) et (BC) sont perpendiculaire à (OM), de plus N est le point d'intersection de (OM) et (BC), donc d'après le projeté orthogonal:
    OM . OI = OM .ON

    - les droites (BC) et (OM) sont perpendiculaires, N appartient à (BC) et (OM) , donc d'après le projeté orthogonal:
    OM .OC = OM.ON

    - (MC) est une tangente au cercle issue de M en C, donc OC est un rayon et mesure 3, donc (OC) est perpendiculaire à (CM), donc d'après le projeté orthogonal:
    OM.OC = OC au carré = 9

    j'ai bien démontrer les égalités de départ.

    c . On me demande ce que je peux en déduire pour le point I.
    Je ne sais pas vraiment.

    d. On Me demande ensuite sur quelle courbe le point N se déplace.
    Je ne sais pas non plus.


    Merci d'avance pour votre aide








    Réponse: Projeté orthogonal de taconnet, postée le 05-04-2010 à 18:24:48 (S | E)
    Bonjour.

    Ce que vous avez écrit :

    J'ai donc fais (toutes les longueurs que j'écris sont des vecteurs):

    OM scalaire BC = OM scalaire (BO +OC) = OM scalaire BO + OM scalaire OC
    = OB scalaire BO + OC au carré = - (OB)au carré + OC au carré
    = -9 + 9
    =0
    donc OM scalaire BC = 0 donc OM est perpendiculaire à BC


    n'a aucun sens mathémathique.

    Dites simplement:
    Puisque (MC) et (MB) sont tangentes au cercle alors les segments [MB]et[MC] sont isométriques.
    M est donc équidistant de B et C.<══> M est sur la médiatrice de [BC]
    D'autre part, B et C sont sur le cercle de centre O donc OC = OB.
    O est donc équidistant de B et C.<══> O est sur la médiatrice de [BC]
    Ainsi, la droite (OM) est la médiatice de (BC).
    (OM) est donc perpendiculaire à (BC).

    Voici comment j'envisagerai la suite du problème.

    Le quadrilatère MNIH est inscriptible dans un cercle (Σ)
    O est extérieur à ce cercle, on a :
    OI.OH = ON.OM (il s'agit ici de produit de longueurs)
    D'autre part
    Dans le triangle rectangle OBM on :
    OB² = ON.OM = 9
    Ainsi
    OI.OH = 9 <══> OI = 9/5 <══> le point I est fixe.
    Puisque I et O sont fixes et que l'angle ONI = 90° alors N se trouve sur le cercle de diamètre [OI].


    Réponse: Projeté orthogonal de mathjulie, postée le 07-04-2010 à 13:08:54 (S | E)
    d'accord, merci beaucoup pour votre aide

    Bonne continuation



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