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    Logarithme népérien

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    Logarithme népérien
    Message de mimilamouse posté le 28-02-2010 à 13:24:55 (S | E | F)

    Bonjour, j'ai ce DM a faire et j'ai certaines difficultés :s

    Sujet

    1 ) La fonction h est définie sur IR+* par

    h(x)=x²+1-ln x

    Etudier les variations de la fonction h et en deduire son signe.

    2 ) La fonction p est definie sur IR+* par

    p(x)= x + (ln x ) / x

    a- CAlculer sa dérivée p' (x). Etudier son signe et en déduire les variations de la fonction p.

    b- Etudier les limites de p en 0 et en + l'infini.

    c- Déterminer les points de Cp en lesquels la tangente est parallele a la droite.

    Solution (ce que j'ai pu faire ... :s)

    1 ) POur étudier les variations, je trouve décroissante de 0 à 1/2 et croissante de 1/2 à + l'infini

    2 ) a - Et la j'ai un soucis parce que en dérivant p (x) je trouve (x²+1-ln x)/x²
    Je dis que le dénominateur est positif donc j'etudie le numerateur. Je trouve alors 1 solution qui après vérification n'a pas l'air d'etre ca.
    Je trouve (-1+ racine de 5)/2

    b - Je crois que lim ( en x tend vers 0 ) ln x / x : Forme indéterminée ...

    et que lim (en x tend vers + l'infini ) p(x) : + l'infini

    c- Je pense qu'il faut utiliser f'(x) : 1

    Merci de m'aider



    Réponse: Logarithme népérien de taconnet, postée le 28-02-2010 à 15:05:20 (S | E)
    Bonjour.

    Vous avez fait une erreur en calculant la dérivée de la fonction h.



    h est décroissante sur ]0 ; √2/2]
    h est croissante sur [√2 /2 ; +∞[

    lorsque vous calculez la valeur du minimum pour x = √2/2, (n'oubliez pas que ln(√2/2) est un nombre négatif)

    Vous trouvez donc que la représentation graphique de h ne coupe pas l'axe des abscisses donc que h(x) > 0 sur l'intervalle ]0 ; + ∞ [



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