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    Application de la dérivation

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    Application de la dérivation
    Message de titou22 posté le 10-02-2010 à 20:16:20 (S | E | F)

    Bonjour à tous,

    Après avoir passé 30 minutes sur cet exercice d'optimisation je n'arrive pas à le résoudre. Ca serait gentil de me donner un coup de pouce .

    L'exercice est le suivant :

    Les proportions d'une casserole économique :

    Énoncé :
    Vous êtes-vous demandé pourquoi la hauteur d'une casserole est approximativement égale à son rayon quelle que soit sa contenance ?

    -On a une casserole avec pour rayon de sa base x et pour hauteur h.

    -Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant :
    Comment fabriquer une casserole de volume v donné avec le moins de métal possible ?
    On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas des dimensions de la casserole.
    L'unité est le centimètre. on note x le rayon du cercle du fond, h la hauteur et L l'aire totale égale à l'aire latérale plus l'air du fond.

    Questions :
    1.a Démontrez que h=v/PixX²
    b Démontrez que L = PixX² + 2v/x

    2.a Etudier sur ]0;+infini[ les variations de la fonction x qui associe PixX² + 2v/x
    b Concluez en montrant que h =x.

    Pour information je suis en premier S, merci de votre aide.


    Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 10-02-2010 à 21:50:05 (S | E)
    bonsoir
    1)a) comment calcule t-on le volume de la casserole?
    V= (aire de la base) × hauteur
    LA base est un cercle de rayon x donc son aire est ...
    donc V= ....

    on en déduit facilement h= v/ (π x²)

    LA surface de métal utilisé est composé du fond et du "tour"
    Le fond a la forme d'un disque de rayon x dont l'aire est ...
    Le "tour" peut être considéré comme un rectangle (en le déroulant) de hauteur h et de longueur égale au périmètre du cercle
    Simple, non?


    Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 12:09:47 (S | E)
    Merci de votre aide.

    Néanmoins je bloque ici : Le "tour" peut être considéré comme un rectangle (en le déroulant) de hauteur h et de longueur égale au périmètre du cercle.

    Je trouve : Le fond a la forme d'un disque de rayon x dont l'aire est ... : πx²
    Et après je trouve pour le rectangle déroulé : 2πx

    Et donc je ne retrouve pas l'aire qui doit être : πx² + 2v/x.

    Merci de votre réponse.


    Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 11-02-2010 à 12:13:02 (S | E)
    bonjour
    2πx est la longueur du rectangle (le tour); il faut calculer son aire


    Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 12:18:50 (S | E)
    Effectivement.

    Je trouve donc πx²+ h(2πx)
    ==> L = πx² + 2h + πh + hx
    Mais comment remplacer 2h + πh + hx par 2v/x ?

    C'est bon j'ai trouvé ça fait 2(πx²+2πx) qui donc fond 2v

    -------------------
    Modifié par titou22 le 11-02-2010 12:21

    -------------------
    Modifié par titou22 le 11-02-2010 12:25


    Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 12:39:44 (S | E)
    En ce qui concerne les variations de la fonction x qui associe πx²+2v/x

    La dérivée ça donne bien : π2x + 2(x-v)/x² ?


    Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 11-02-2010 à 12:42:51 (S | E)
    confusion entre addition et multiplication
    la multiplication est distributive par rapport à l'addition: 2×(a+b)=2a +2b
    mais là il n'y a que des multiplications: h(2πx)= 2 π x h

    au 1) tu as du écrire h=... (fonction de V) ; il suffit de remplacer h par ...

    -------------------
    Modifié par iza51 le 11-02-2010 12:45
    dérivée fausse;v est une constante puisque l'on dérive par rapport à la variable x


    Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 12:55:55 (S | E)
    Ah mince, pour la dérivée je ne vois pas comment faire. Car j'applique les formules du cours ( 2v/x ==> (u/v)'= u'v-uv'/v² ).

    Il me semble pas avoir fait d'exercice de ce genre en classe.


    Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 11-02-2010 à 13:06:08 (S | E)
    tu peux appliquer cette formule mais tu l'appliques mal
    numérateur = 2v =constante donc sa dérivée est 0
    dénominateur =x donc sa dérivée est 1

    la formule (1/v)'= -v'/v² est plus adapté ici puisque 2v/x= (2v) * (1/x) avec 2v constant
    dérivée= (2v)*(1/x)'


    Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 13:10:49 (S | E)
    Ah oui, je ne me suis pas assez dégagé de l'exercice.

    Donc on peut aussi dire que la dérivée c'est 2πx - 2v/x² ?


    Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 11-02-2010 à 13:18:59 (S | E)
    oui


    Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 13:36:55 (S | E)
    D'accord donc après on fait un tableau mais comment on trouve les racines ?


    Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 11-02-2010 à 13:51:20 (S | E)
    les racines????
    avant de faire un tableau, on cherche le signe de la dérivée (et pas seulement les racines!!!)
    on écrit la dérivée sous la forme d'un quotient:
    f'(x)=(2π x3-2v) /x²
    le signe de f'(x) est aussi celui de (2π x3-2v)
    soit celui de ( x3-(v/π)) après avoir mis 2 pi en facteur

    la fonction cube est strictement croissante sur R, la dérivée change de signe lorsque x3= v/π
    soit lorsque .... (pour finir, remplace v par π x² h et simplifie)


    Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 14:05:12 (S | E)
    D'accord donc : f(x) = πx²+2v/x
    f'(x) = 2πx - 2v/x²
    f'(x) = 2πx - 2πh
    f'(x) = 2π(x-h)
    Si x Si x>h...
    Si x=h...

    x....0......... h..........+&
    f'(x)..... -....0.....+
    f(x)..décroissant....croissant

    Si je met ça pour le 2 c'est correct ou pas ?

    -------------------
    Modifié par titou22 le 11-02-2010 14:05



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