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    DM logarithme T°S

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    DM logarithme T°S
    Message de titflorette posté le 05-01-2010 à 20:05:38 (S | E | F)

    Bonjour,

    f(x)=(ln(1+x))/x
    -1/2 < ou égal (ln(1+x)-x)/x² < ou égal -1/2 + x/3
    En déduire que f est dérivable en zéro et que f'(0)=-1/2.

    Alors j'ai tout trouvé excepté la dernière question.
    Je ne sais pas comment me débrouiller avec mon encadrement, et pour retrouver -1/2.
    C'est peut-être tout simple mais bon j'ai pas eu le déclic encore

    Si quelqu'un pouvait m'aider, svp.




    Réponse: DM logarithme T°S de taconnet, postée le 05-01-2010 à 23:40:54 (S | E)
    Bonjour.

    Ce que vous devez savoir :

    I - Définition :

    Dire qu'une fonction f définie sur un intervalle [A , B] est déribable en un point d'abscisse x0 de cet intervalle, c'est dire que :



    Le nombre K quand il existe est appelé nombre dérivé de f en x0 ou plus simplement dérivée de f en x0. Il est noté f'(x0).

    II - Théorème des (deux) gendarmes :

    Soit e , g , h trois fonctions définies sur le même intervalle telles que e et h admettent la même limite l au point x0.
    S'il existe de plus un intervalle ouvert I contenant x0 tel que :
    Quel que soit x de cet intervalle on ait :

    e(x) ≤  g(x) ≤  h(x)


    alors g admet une limite au point x0 et cette limite est l


    Vous avez démontré que :
    Pour tout x strictement positif on a :
    -1/2 ≤ (ln(1+x)-x)/x² ≤ -1/2 + x/3

    Vous remarquerez que (application du théorème précédent)



    Vous remarquerez aussi que :


    d'après la définition

    un simple calcul montre que :

    car et f(0) = 1

    Donc f'(0) = - 1/2




    Réponse: DM logarithme T°S de titflorette, postée le 14-01-2010 à 16:05:20 (S | E)
    Je n'avais pas pensé à la formule [f(x)-f(a)] / (x-a), maintenant c'est clair
    Je n'ai plus qu'à finir mon exercice.
    Merci beaucoup et bonne journée.



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