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    Exercice maths très difficile (1)

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    Exercice maths très difficile
    Message de ddyou2002 posté le 25-10-2009 à 11:41:14

    Bonjour,
    Mon enfant a un exercice à la maison très difficile à résoudre ;si vous pouvez l'orienter vers la solution merci:
    a,b,c réels avec a=0 a


    Réponse: Exercice maths très difficile de taconnet, postée le 25-10-2009 à 15:00:20
    Bonjour.

    C'est effectivement un exercice assez difficile.

    Type d'exercice que l'on propose lors des olympiades de mathématiques.

    Je vous laisse chercher encore quelque temps.

    voici une solution qui corrobore l'assertion.



    Vous vérifierez que :

    1- a < 0 et c > 0
    2- a < b < c
    3- a + b + c = 0
    4- a² + b² + c² = 1




    Réponse: Exercice maths très difficile de taconnet, postée le 28-10-2009 à 20:07:46
    Bonjour.

    Où en sont vos recherches ?

    Voici un début de solution. Je traite le premier cas, je vous laisserai traiter le second.

    Par hypothèse on donne :

    a < 0 ; c > 0 et a < b < c ;

    Il faut alors envisager deux cas b > 0 puis b < 0.

    I- Envisageons le cas b > 0

    Alors c > b <══> c² > b²

    d'autre part puisque a + b + c = 0 <══> b + c = -a et l'on a alors a² = (b +c)²

    La relation a² + b² + c² = 1 s'écrit alors (b + c)² + b² + c² = 1

    soit après développement et simplification :

    2b² + 2c² + 2bc = 1

    or c² > b²

    donc

    2c² > 2b²
    2bc > 2b² puisque c > b ( ne pas oublier que b et c sont positifs)

    Par addition membre à membre il vient
    2c² + 2bc > 2b² + 2b²
    Et en ajoutant aux deux membres b²

    On obtient finalement

    2b² + 2c² + 2bc > 2b² + 2b² + 2b²
    2b² + 2c² + 2bc > 6 b²

    Or
    2b² + 2c² + 2bc = 1
    donc
    1 > 6b² <══> b² < 1/6


    Je vous laisse traiter le second cas : b < 0
    C'est exactement la même démarche.

    Si toutefois vous avez des difficultés je vous aiderai.

    Courage ! Seul l'effort paye.





    Réponse: Exercice maths très difficile de fr, postée le 28-10-2009 à 20:34:21
    Bonsoir,

    Il existe aussi une autre méthode :
    on considère le système d'équation formé par :
    a + b + c = 0
    et a² + b² + c² = 1
    comme un système d'équation à 2 inconnues (a et c), avec un paramètre (b),
    On résout en fonction du paramètre b.
    On calcule a (ou c) dans la première équation, on l'injecte dans la seconde
    Pour qu'il y ait des solutions, il faut que le discriminant soit positif (on obtient une condition sur b²)
    On calcule les 2 solutions, ces 2 solutions sont a et c (les équations sont symétriques par rapport à a et c, sinon pour vous en convaincre, calculez c puis remplacez dans la première équation pour obtenir a...)

    De ces 2 racines, la plus petite (avec le moins devant la racine carrée) sera a et l'autre c.
    On exprime que a<=0 et c>=0, on obtient alors une autre condition sur b² ...

    Ensuite on exprime que a<=b<=c et on obtient une troisième condition sur b²
    Cette dernière est la plus restrictive des conditions et correspond à celle demandée ...






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