Learn French 100% free Get 1 free lesson per week // Add a new lesson
Log in!

> Log in <
New account
Millions of accounts created on our sites.
JOIN our free club and learn French now!




Get a free French lesson every week!

  • Home
  • Contact
  • Print
  • Guestbook
  • Report a bug


  •  



    Aide Devoir Maison

    << Forum maths || En bas

    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Aide Devoir Maison
    Message de emiliie posté le 12-10-2009 à 21:31:50 (S | E | F)

    Bonjour,
    je voudrais savoir comment on doit faire pour déduire que le produit de quatre entiers consécutifs + 1 est le carré d'un entier naturel.
    Si quelqu'un peut m'aider je le remercie



    Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 21:39:52 (S | E)
    Bonsoir,

    Cela revient à chercher à factoriser n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 ...

    Bonne recherche ...


    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 21:42:50 (S | E)
    D'accord merci je vais essayer.


    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 21:56:38 (S | E)
    Est ce que vous pourriez m'aider pour la factorisation de n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 s'il vous plaît . Je ne sais pas pourquoi je bloque.



    Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 21:58:04 (S | E)
    Petite indication : pour être proche du nombre que l'on cherche, il convient de combiner 2 par 2 les termes de n(n+1)(n+2)(n+3) et ceci de façon astucieuse, c'est-à-dire en ne prenant pas les 2 termes les plus petits d'une part et les 2 termes les plus grands de l'autre, car les 2 nombres résultants seraient trop éloignés ...

    Quelles combinaisons vous semblent plus judicieux ?




    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:12:15 (S | E)
    Il serait mieux de combiner n(n+3) avec (n+1)(n+2) non?


    Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 22:14:37 (S | E)


    Vous vouliez dire combiner n avec (n+3) et (n+1) avec (n+2)

    Il convient donc de développer ces 2 produits


    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:16:40 (S | E)
    Oui c'est ce que je voulais dire , merci
    je vais essayer maintenant je vous dis après


    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:22:13 (S | E)
    Il faut développer ces deux produits à part ou bien à la suite ?


    Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 22:28:36 (S | E)
    Chacun séparément, puis vous constaterez qu'ils ont une partie commune et il faudra chercher avec cela la factorisation (ne pas oublier le +1 à la fin ...)


    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:32:09 (S | E)
    Ils ont en commun n²+3n c'est ça ?


    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:33:41 (S | E)
    Et avec la factorisation , j'obtiens n(n+3)


    Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 22:39:00 (S | E)
    Ce n'est pas la peine de re-factoriser le terme que vous venez de développer :

    Vous avez obtenu (sauf erreur de ma part ou de la vôtre) :
    (n²+3n)(n²+3n+2)+1

    Cette forme est à rapprocher de :
    A(A+2) + 1

    Comment factoriseriez-vous A(A+2) + 1 ?

    (si vous ne voyez pas, développez ...)


    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:44:16 (S | E)
    j'ai développé , et sa me donne :
    A²+2A +1 c'est ça ?


    Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 22:45:08 (S | E)
    Oui c'est juste ...
    Cela ne vous rappelle rien ?



    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:47:56 (S | E)
    Oui , ça me rappelle une identité remarquable.
    Ici l'identité remarquable est (A+1)²


    Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 22:55:14 (S | E)
    C'est pour ainsi dire gagné, puisque vous vouliez démontrer que cette expression était le carré d'un entier naturel...

    On a donc n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = ... (je vous laisse compléter les ...)




    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 23:00:45 (S | E)
    cette expression était le carré d'un entier naturel
    On a donc n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n)(n²+3n+2)+1= A²+2A+1=(A+1)² je ne suis pas sûre que ce soit bon ce que je viens de compléter


    Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 23:07:41 (S | E)
    Il faut remplacer A par sa valeur en fonction de n (à vous de faire ce rapprochement ...)

    Dans votre rédaction vous pouvez dire (par exemple):

    n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n)(n²+3n+2)+1 or (n²+3n)(n²+3n+2)+1 est de la forme A(A+2) +1, avec A=... (à compléter) or A(A+2)+1=(A+1)², donc n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (...)²

    ou alors, vous écrivez directement :
    n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n)(n²+3n+2)+1 = (...)*(...) + 2 (...) +1 = (... + 1)²




    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 23:14:09 (S | E)
    C'est donc :

    n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n)(n²+3n+2)+1 or (n²+3n)(n²+3n+2)+1 est de la forme A(A+2) +1, avec A= n²+3n or A(A+2)+1=(A+1)², donc n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (A+1)²


    Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 23:18:03 (S | E)
    presque, mais il faut que le résultat final soit en fonction de n, (A n'est qu'un artifice de calcul pour aider le raisonnement ...) :

    n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n)(n²+3n+2)+1 or (n²+3n)(n²+3n+2)+1 est de la forme A(A+2) +1, avec A= n²+3n or A(A+2)+1=(A+1)², donc n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n+1

    Ensuite, il ne reste plus qu'à démontrer (facile) que n²+3n+1 est un entier naturel (car le produit d'entiers naturels est un entier naturel et la somme d'entiers naturels est un entier naturel ...)


    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 23:23:38 (S | E)
    Il faut démontrer que n²+3n+1 est un entier naturel avec une phrase ?
    Je ne vois pas comment.


    Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 23:30:12 (S | E)
    C'est simple : le produit de 2 entiers naturels est un entier naturel (voir le cours sur les entiers naturels), donc n étant un entier naturel, n*n et 3*n sont des entiers naturels ...
    et la somme d'entiers naturels est un entier naturel, donc n²+3n+1 est un entier naturel



    Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 23:34:41 (S | E)
    Ah oui c'est tout simple et moi je cherchais des choses compliquées.
    La question est donc finie maintenant.
    Merci de votre aide c'est très gentil



    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    << Forum maths