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    Fonction

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    Fonction
    Message de mariee posté le 26-09-2009 à 14:03:41 (S | E | F)

    Bonjour, je voudrais savoir si ce que j'ai fait suffit à repondre à la question suivante ou s'il faut que j'utilise des réels.
    L'exercice est le suivant:

    Soit f une fonction définie sur R
    Démontrer que:
    Si f est une fonction paire croissantesur l'intervalle [o; + l'inf ],alors f est décroissante sur ]-l'inf ; O].
    par hypothèse j'ai :

    pour 0a < b , on f(a) < f(b) soit f(b) - f(a) > 0.

    Voyons ce qui se passe pour :

    a < b 0

    f(a)= - f(a) et f(b)=-f(b) car la fct est paire.

    Donc f(a) - f(b)= -f(a)-[-f(b)]=f(b)-f(a) qui est > 0 (voir au début)

    Donc pour :a < b 0

    on a : f(a) - f(b) > 0

    donc f(a) > f(b).

    On sait que si a < b avec f(a) > f(b) , alors la fct est décroissante.



    Pour cela j'ai utiliser le théorème suivant:


    Merci de vos réponses



    Réponse: Fonction de polololo, postée le 26-09-2009 à 23:47:33 (S | E)
    Bonsoir,

    T'as fait une bonne démonstration mais malheureusment t'as commis une petite faute ,regarde le rappel ci-dessous:

    Fonctions paires:

    Soit une fonction f définie sur Df. On dit que f est paire si :
    Df est symétrique par rapport à 0;
    pour tout x dans Df, f(-x) = f(x) et son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

    Fonctions impaires:

    Soit une fonction f définie sur Df. On dit que f est impaire si :
    Df est symétriue par rapport à 0;
    pour tout x dans Df, f(-x) = -f(x) et son graphe est symétrique par rapport à l'origine


    Corrige ta faute.


    Réponse: Fonction de allouz158, postée le 28-09-2009 à 04:34:22 (S | E)
    il faut d'abord montrer que la fonction est paire en procédant comme suit:pour x élément de df -x élément de df et f(-x)=f(x) ce qui veut dire donc que cf est symétrique par l'axe des ordonnées donc tu t'inspire de cela pour conclure que pour f(x) croissant sur [b,+inf[ il est décroissant sur ]-inf,b]


    Réponse: Fonction de mariejoa, postée le 28-09-2009 à 12:37:57 (S | E)
    Bonjour,
    Attention!

    f(a)= - f(a) et f(b)=-f(b) car la fct est paire ceci est faux
    Il faut écrire f(a)= f(-a) et f(b) =f(-b)

    Si a < b <0 alors -a et -b sont positifs et -a>-b
    Et comme f est croissante sur R+ f(-a)>f(-b) donc f(a) >f(b)
    Et là on a le résultat en utilisant le théorème .
    La fonction est paire et croissante sur R+ fait partie des données.



    Réponse: Fonction de taconnet, postée le 28-09-2009 à 15:59:09 (S | E)
    Bonjour.

    Voici ce que vous devez savoir par coeur.


    1 - Fonction stictement croissante sur un intervalle I.

    Définition.

    Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
    On dit que f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, on a :
    a < b ══> f(a) < f(b)


    2 - Fonction strictement décroissante sur un intervalle I.

    Définition.

    Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
    On dit que f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, on a :
    a < b ══> f(a) > f(b)


    3 - Une propriété importante.

    Dire que f est strictement croissante sur un intervalle I, c'est dire que pour tout réel a et tout réel b de I, f(a) et f(b) sont rangés dans le même ordre que a et b.
    On dit alors qu'une fonction strictement croissante sur un intervalle I conserve l'ordre dans cet intervalle.

    Dire que f est strictement décroissante sur un intervalle I, c'est dire que pour tout réel a et tout réel b de I, f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre inverse de a et b .
    On dit alors qu'une fonction strictement décroissante sur un intervalle I change l'ordre dans cet intervalle.


    Démonstration :

    On choisit l'intervalle I = ] 0 ; +∞[ des réels strictement positifs.
    Soient a et b deux réels de cet intervalle tels que
    a < b


    Dire que f est strictement croissante sur I , c'est dire d'après la définition que :
    a < b ══> f(a) < f(b)


    D'autre part la fonction est paire, on a donc f(a) = f(-a) et f(b) = f(-b)

    On sait que a < b <══> -a > -b

    -a et -b sont donc des réels de l'intervalle I' = ]- ∞ ; 0[

    Or
    l'image de -a est f(-a) = f(a)
    et
    l'image de - b est f(-b) = f(b)

    et puisque l'on a f(a) < f(b) il s'ensuit que f(-a) < b(-b)

    En conséquence :

    -a > -b ══> f(-a) < f(-b)

    ce qui montre par définition que sur l'intervalle ] - ∞ ; 0[ la fonction f est strictement décroissante



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