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    Partie entière

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    Partie entière
    Message de babou04 posté le 12-09-2009 à 15:29:32 (S | E | F)

    Bonjour , je n'arrive pas à faire cet exercice :
    Montrer que pour tout x appartenant à R , et pour tout entier n , on a
    Ent(x+n)=Ent(x) + n .
    Quelqu'un pourrait t'il me venir en aide ? , merci beaucoup .


    Réponse: Partie entière de kounassi, postée le 14-09-2009 à 02:33:59 (S | E)
    Bien
    si ab alors a=b
    Nous avons E(x)<=x<=E(x)+1 pour tout x reel.
    Posons E(x+n)<=x+n<=E(x+n)+1
    Faisons les differences entre les inegalites a gaiche et les inegalites a droite,nous pouvons successivement prouver que E(x+n)<=E(x)+n et E(x+n)>=E(x)+n et donner une conv=clusion
    Good luck


    Réponse: Partie entière de taconnet, postée le 14-09-2009 à 08:11:41 (S | E)
    Bonjour.

    Voici la définition de la partie entière d'un réel :

    Lien Internet


    1- Introduction.Position du problème.

    Soit a un réel. Notons E(a) sa partie entière.
    Puisque R est archimédien il existe un entier p tel que :
    p ≤  a  ≤  p +1

    D'après la définition on pose E(a) = p

    2- Démonstration.

    Soit x un réel.
    Considérons alors E(x + n) où n est un nombre entier.
    E(x + n) est donc la partie entière du réel (x + n) c'est à qu'il existe un entier k tel que :

    k ≤ x + n ≤ k + 1

    Donc

    E(x + n) = k

    Or la double inégalité précédente s'écrit aussi :

    k - n ≤ x ≤ k - n +1

    Donc

    E(x) = k - n

    On a ainsi les équivalences suivantes :

    E(x) = k - n <══> E(x) + n = k <══> E(x) + n = E(x + n)







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