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    Montrer que f n'est pas affine (1)

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    Montrer que f n'est pas affine
    Message de nelylles posté le 09-03-2009 à 01:50:21 (S | E | F)

    Bonjour à tous.

    J'ai reçu un exercice de maths et je ne comprend pas comment procéder...
    Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

    Énoncé :

    Soit la fonction f définie sur [0 ; +inf[
    On donne ce tableau de valeur :
    f(1) = 10,5 ; f(2) = 2 ; f(3) = 4,5

    Montrer que f n'est pas une fonction affine. (Je ne vois pas du tout quelle méthode employer...)

    D'avance merci pour votre aide !


    Réponse: Montrer que f n'est pas affine de dinozzo69, postée le 09-03-2009 à 02:20:18 (S | E)
    Bonjour,

    Une fonction affine est une fonction sous la forme y=ax+b (forme générale).

    Tu aura donc f(1)=a+b=10.5
    f(2)=2a+b=2
    Si on prend les 2 premières équations : a=10.5-b
    Dans la deuxième 2x(10.5-b)+b=2
    21-b=2
    b=19
    Donc a=10.5-19=-7.5

    Si on a une fonction affine alors ces conditions (valeur de a et de b) devraient vérifier la troisième condition : f(3)=4.5

    On a alors f(3)=3x(-7.5)+19=-22.5+19=-2.5 ce qui est différent de 4.5 que l'on devrait trouver si on avait une fonction affine.

    Courage !


    Réponse: Montrer que f n'est pas affine de taconnet, postée le 09-03-2009 à 10:54:14 (S | E)
    Bonjour.

    Il faut généraliser le problème.

    Revenons à la définition:

    Une fonction affine est une fonction de la variable réelle x dont la représentation graphique est une droite. C'est une fonction polynôme de degré un. Elle est définie par:

    f : R ──> R
    x ──> f(x) = ax + b

    a et b des nombres réels fixés.

    Dans l'expression ci-dessus, a et b sont des constantes et x est la variable.

    La constante a est appelée coefficient directeur et b ordonnée à l'origine.

    Pour fixer les idées:

    sont des fonctions affines.

    Considérons une fonction affine ( a et b donnés)
    f(x) = ax + b

    Soient deux réels distincts donnés u et v (u ≠ v) <══> u - v ≠ 0
    on a

    f(u) = au + b
    f(v) = av + b

    donc

    f(u) - f(v) = au - av = a(u -v) donc

    ce qui prouve que pour tout couple de réels (u,v) le rapport est constant.

    Remarque importante :

    La fonction affine est bijective.

    Donc

    x1 ≠ x2 <══> f(x1) ≠, f(x2)

    Conséquence:

    Si l'on donne:
    f(a) = t
    f(b) = u
    f(c) = v

    Ainsi, dire que f est une fonction affine, c'est dire que les rapports :


    sont égaux.

    C'est aussi la condition d'alignement de trois points.

    Voici un exemple :

    Vérifiez à l'aide de la formule précédente que les points A(1/3;3) ; B(-1;-1) ; C(1;5) sont alignés.



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