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    Équation (1)

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    Équation
    Message de mp83 posté le 13-02-2009 à 12:36:15 (S | E | F)

    bonjour
    Déterminer tous les entiers strictement positifs x, y et z tels que
    1/x+1/y+1/z=1
    quelqu'un peut-il me donner des pistes?
    merci


    Réponse: Équation de magstmarc, postée le 13-02-2009 à 22:07:19 (S | E)
    Bonjour,

    Cela ressemble à un exercice de recherche, donc, il faut essayer...tester des valeurs et essayer d'en tirer des conséquences...

    On remarque que (3 ; 3 ; 3) est solution ainsi que (2 ; 3 ; 6) par exemple
    Il est facile aussi de voir qu'aucun des entiers x, y ou z ne peut valoir 1 (pourquoi ?)
    Ou encore : s'il y en a un qui vaut 2, les autres sont forcément strictement supérieurs à 2 (pourquoi ?)

    Et si on se fixe deux entiers x et y avec x > = 2 et y > 2, est-ce qu'on peut toujours écrire le nombre 1 - (1/x) - (1/y) sous la forme 1/z, avec z entier ?



    Réponse: Équation de fr, postée le 18-02-2009 à 14:01:04 (S | E)
    Bonjour,

    pour aller plus loin,
    on peut chercher les solutions avec x<=y<=z (les autres solutions s'obtiennent par permutation de x, y et z, car l'équation est "permutable" en x, y et z...)

    On peut alors voir que x (le plus petit terme) ne peut valoir 4 ou plus, pourquoi ?
    On cherche donc les solutions avec x=2 ou 3

    Il est alors facile de trouver toutes les seules solutions,
    en effet :

    a) si x=2, on a l'équation: yz=2(y+z) (pourquoi ?)
    que l'on peut aussi écrire : (y-2)z=2y
    et on retirant (2y-4) de chaque côté : (y-2)(z-2)=4
    Quels sont toutes les possibilités pour que le produit de 2 entiers donnent 4 ?
    D'où les solutions ...

    b) si x=3, on a l'équation: 2yz=3(y+z) que l'on peut écrire sous la forme ...


    PS : en tout, il y a 10 triplets solutions, avec les permutations.




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