Learn French 100% free Get 1 free lesson per week // Add a new lesson
Log in!

> Log in <
New account
Millions of accounts created on our sites.
JOIN our free club and learn French now!




Get a free French lesson every week!

  • Home
  • Contact
  • Print
  • Guestbook
  • Report a bug


  •  



    Etude d'une fonction logarithm neper (1)

    << Forum maths || En bas

    POSTER UNE NOUVELLE REPONSE


    Etude d'une fonction logarithm neper
    Message de menom posté le 09-12-2008 à 20:09:07 (S | E | F)

    Pourriez-vous m'aider, s'il vous plait?

    On considere la fonction f definie sur ]-1,+inf[ par

    f(x)=x-ln(1+x)

    (a) Soit n un entier supérieur à 1. Démontrer que l'équation d'inconnue x :

    f(x) =1/n
    admet une unique solution dans l'intervalle ]0,+inf[. On notera un cette solution Un.(pas de probleme pour celle-ci. J'utilise le TVI)

    (b) Démontrer que la suite Un est strictement décroissante.

    (c) Donner une approximation de f(1). En déduire que pour tout entier n >= 4,
    0 < Un < 1

    D'apres le question avant(que je n'ai pas afficher ici,je trouve que f est croissante sur ]o,+inf[
    comment on fait pour le b)? et je ne comprends pas la question c) J'ai l'approximation de f(1) =0,306.et apres?

    Merci de l'avance




    Réponse: Etude d'une fonction logarithm neper de iza51, postée le 09-12-2008 à 21:34:55 (S | E)
    Bonjour Menom,
    pour le a) la fonction est continue et monotone sur [0; +∞[, on applique le TVI qui assure l'existence de solutions ; l'unicité est donnée par la sricte monotonie mais ce n'est plus le TVI
    pour le b)
    f(un)=1/n
    f(un+1)=1/(n+1)
    f est croissante sur [0; +∞[
    on peut montrer qu'il est impossible que un < un+1
    en effet si on avait un < un+1 alors comme f est croissante, on aurait f(un) < f(un+1), donc on aurait ...etc. ce qui est impossible (démonstration par l'absurde)

    (c) tu dis f(1)vaut environ 0.306.
    Alors 0 <1/(n+1) < 1/n < 1/5 <1/4 < f(1) < 1/3 < 1/2 <1
    et alors un+1 < un < u5 < u4 < 1 < u3 etc


    Ainsi pour tout entier n >= 4,
    0 < Un < 1


    Réponse: Etude d'une fonction logarithm neper de menom, postée le 10-12-2008 à 00:32:34 (S | E)
    Bonjour Iza,
    peut-on montrer le b) en utilisant le TAF?
    (f(1)-f(Un))/(1-Un)=f'(c)>=0


    Réponse: Etude d'une fonction logarithm neper de iza51, postée le 10-12-2008 à 17:07:33 (S | E)
    Bonjour Menom,
    tu demandes si on peut montrer le b) en utilisant le TAF?
    il existe c compris entre 1 et un tel que (f(1)-f(Un))/(1-Un)=f'(c)≥ 0 car f'(x)= x / (x+1) >0 pour tout x > 0,

    Donc f(1)-f(un) et 1- un ont le même signe

    f(1)= et f(un)=1/n
    Lorsque n ≥ 4, on a 0 < 1/n ≤1/4 ≤ f(1)
    etc.
    la réponse est oui; il faut aussi préciser pourquoi un > 0 (solution positive de l'équation ...=


    Réponse: Etude d'une fonction logarithm neper de menom, postée le 10-12-2008 à 17:22:45 (S | E)
    Merci bien!




    POSTER UNE NOUVELLE REPONSE