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    Fonction exponentielle (1)

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    Fonction exponentielle
    Message de paudesinge posté le 02-11-2008 à 15:21:03 (S | E | F)

    Salut à tous,
    J'ai un petit problème en maths (comme d'hab^^)
    Je ne suis pas sure de mes limites et de ma dérivée pour deux fonctions exponentielles dérivables sur R et je bloque aussi sur leurs limites qu'il faut étudier à leurs bornes.
    La fonction f(x) dérivable sur R : f(x)= x-1+((x^2+2)/e^x)
    Pour ses limites je trouve :
    en - l'infini :
    lim x-1 = - l'infini quand x tend vers - l'infini
    lim x^2+2= - l'infini quand x tend vers - l'infini
    lim e^x=0 quand x tend vers - l'infini
    Par quotient : lim x^2+2/e^x= - l'infini
    donc Par somme : lim f(x) = - l'infini quand x tend vers - l'infini
    (est ce que c'est bon ?)

    En + l'infini je n'y arrive pas....je trouve à chaques fois des formes indéterminées. J'ai essayé de transformer x^2+2/e^x, mais cela ne m'avance à rien.
    Pour la dérivée de f(x), je trouve f'(x)= 1- ((x^2-2x+2)e^x)/(e^x)^2
    Est ce que c'est bon ? J'ai fais par somme et par quotient.

    La fonction g(x) dérivable sur R : g(x)= 1 - ((x^2-2x+2)/e^x)
    Pour ses limites, je ne sais pas s'il faut que je prenne en compte le 1 et que j'applique directement le quotient où alors que je mette tout au même dénominateur en factorisant par E^x (Est ce que j'ai le droit ?), ce qui me ferait une fonction polynôme de la forme : -x^2-2x+2
    Pour sa dérivée, je trouve g'(x)= 1 + (x^2 (e^x) )/(e^x)^2

    Voilà,
    Merci de m'aider




    Réponse: Fonction exponentielle de magstmarc, postée le 02-11-2008 à 15:29:28 (S | E)
    Hello

    "lim x^2+2= - l'infini quand x tend vers - l'infini" : impossible ! x²+2 est toujours positif.
    On aboutit donc à une forme indéterminée.
    Quelles sont les limites que tu as apprises avec la fonction exponentielle ? On peut peut-être s'en servir.


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 15:36:54 (S | E)
    Ah oui du coup, c'est encore inderterminée...
    Alors j'ai e^x=O quand x tend vers - l'infini
    limE^x=+ l'infini quand x tend vers + l'infini
    limE^x/x= + l'infini quand x tend vers + l'infini
    lim xe^x=o quand x tend vers - l'infini
    lim (e^x-1)/x=1 quand x tend vers 0



    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 15:55:08 (S | E)
    Je ne vois pas trop comment on pourrait s'en servir....:s


    Réponse: Fonction exponentielle de magstmarc, postée le 02-11-2008 à 16:32:15 (S | E)
    Et en réduisant l'expression de f(x) au même dénominateur...


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 16:43:28 (S | E)
    lorsqu'on met la fonction f(x) au même dénominateur, ça donne une fonction polynôme de la forme
    x^2+x+1
    ce qui donne comme limite
    limx^2+x+1= + l'infini quand x tend vers - l'infini
    et lim x^2+x+1= + l'infini quand x tend vers + l'infini
    donc f(x)=+ l'infini quand x tend vers l'infini
    Est ce que c'est bon ?
    On peut faire pareil avec g(x) ?


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 16:45:44 (S | E)
    Ce que je comprends pas c'est que quand on met au même dénominateur, on obtient pas la même courbe sur la calto...


    Réponse: Fonction exponentielle de magstmarc, postée le 02-11-2008 à 16:50:23 (S | E)
    Bon réflexe d'avoir vérifié en tout cas
    Qu'obtiens-tu comme expression en réduisant au même dénominateur ?


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 16:56:16 (S | E)
    En réduisant au même dénominateur,
    pour f(x) ça me fait
    f(x) = x-1 +( (x^2+2)/e^x )
    f(x) = e^x(x-1)+x^2+2 divisé par e^x
    f(x)= x^2+x+1

    et pour g(x)
    g(x)= 1 - ((x^2-2x+2)/e^x)
    g(x)= e^x/e^x - ((x^2-2x+2)/e^x)
    g(x)= e^x-x^2-2x+2/e^x
    g(x)= -x^2-2x+2

    Est ce que c'est bon ?


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 17:00:52 (S | E)
    Ah je me suis gourrée pour g(x), j'ai fais une erreur de signe
    j'obitens à la fin
    g(x)= -x^2+2x-2


    Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 17:17:02 (S | E)
    Bonjour,
    désolée mais tu inventes des règles fausses pour simplifier
    par exemple, ≠3
    de la même manière
    ≠ x²+x+1

    on a
    l'idée c'est de mettre en facteur le terme de plus haut degré (ici e^x)
    pour cela on n'invente pas de formule!
    indication: e^x * e^(-x) =e^0=1

    pour la limite en +∞
    tu connais lim {x → +∞} {e^x /x}= +∞
    on a aussi lim {x → +∞} {e^x /x²}= +∞


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 17:39:35 (S | E)
    ah oui c'est vrai, je suis balot....Merci


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 17:48:29 (S | E)
    Est ce qu'il faut développer par e^x, le x-1 ?
    Merci


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 17:52:40 (S | E)
    ce qui nous ferait f(x)= xe^x-e^x+x^2+2 divisé par e^x

    En utilisant e^o
    on peut faire : e^x(x-1)+x^2=2 multiplié par e^-x ?
    ce qui fait
    f(x)= e^0(x-1)+ x^2e-x+2e-x ?


    Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 17:59:58 (S | E)
    non on ne développe pas e^x
    il faut le mettre en facteur au numérateur pour pouvoir simplifier!
    écrire x²+2 sous la forme e^x*e^(-x)*(x²+2)

    dérivée de f:elle est définie par f'(x)= 1- ((x^2-2x+2)e^x)/(e^x)^2 correct mais remarque qu'on peut simplifier et tu obtiens ...

    la dérivée de g : revois ton calcul
    -------------------
    Modifié par iza51 le 02-11-2008 18:06


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 18:39:04 (S | E)
    J'ai simplifier f(x) par e^x ce qui me donne à la fin f(x)= x-1 + (1/e^x)(x^2+2)
    lim 1/e^x= O quand x tend vers l'infini
    Par produit lim 1/e^x(x^2+2)=0 quand x tend vers l'infini
    or,
    lim x-1= - l'infini quand x tend vers - l'infini
    lim x-1 = + l'infini quand x tend vers + l'infini
    Par somme : lim f(x)=+ l'infini quand x tend vers + l'infini
    lim f(x)= - l'infini quand x tend vers - l'infini

    Est ce que c'est bon ?





    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 18:41:45 (S | E)
    J'ai simplifier la dérivée de f(x) et ça me donne
    f'(x)= 1-(x^2-2x+2)(e^x)^-1
    Mais c'est pas plus compliqué pour faire le tableau de signe par la suite ?


    Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 19:29:12 (S | E)
    n'as tu pas reconnu g(x) en simplifiant f'(x)?
    l'étude des variations de g permet d'obtenir le signe de g(x) donc celui de f '(x); on en déduit les variations de f

    reprenons les limites
    en +∞: x-1 → +∞ et x²/e^x →0 (c'est l'inverse de e^x/x² qui tend vers +∞) et 2/e^x → 0 d'où la limite de la somme

    en -∞, on développe e^x comme tu voulais le faire (désolée, je faisais autre chose en même temps)
    on écrit
    en -∞, on a x e^x → 0 et e^x → 0 et x²+2 → +∞ d'où la somme puis en multipliant par etc. etc.


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 19:49:54 (S | E)
    Je comprends pas la limite en + l'infini, de quelle fonction c'est partie...Il faut pas utiliser e^o alors ?
    En - l'infini, j'ai compris....
    Mais est ce que avec ce que j'avais fais avant ça marche ? (c'est juste pour savoir parce que sinon je comprends pas pourquoi ça pourrait pas marcher)
    Merci pour la dérivée, j'avais pas remarquer, merci bien




    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 20:00:01 (S | E)
    Au faite, pour la limite en - l'infini :
    il y a un moins devant e^x, on en tient pas compte ?
    Merci


    Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 20:02:35 (S | E)
    pour la limite en + ∞

    tu avais écrit avant: "lim 1/e^x= O quand x tend vers l'infini" c'est vrai en +∞ pas en -∞
    Par produit lim 1/e^x(x^2+2)=0 quand x tend vers l'infini mais là en +∞, ça donne une forme indéterminée
    et en -∞ la limite est +∞ et non pas 0


    -------------------
    Modifié par iza51 le 02-11-2008 20:03


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 20:02:45 (S | E)
    La limite de e^-x en - l'infini c'est bien égale à la lim de 1/ e^x ?
    Ce qui est égale à O ?


    Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 20:06:58 (S | E)
    e^(-x) → +∞ quand x → -∞ car alors (-x) → +∞

    c'est e^x qui tend vers 0 quand x → -∞ ; son inverse tend vers +∞


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 20:51:11 (S | E)
    Merci, je crois que j'ai enfin compris les limites -_-'....
    Je crois que j'ai trouvé la dérivé de g(x)
    je pense que c'est g'(x)=x^2(e^x)/(e^x)^2

    Merci pour l'aide


    Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 20:56:49 (S | E)
    tu peux détailler ton calcul?
    la formule que tu proposes pour la dérivée de g n'est pas correcte!

    tu peux dériver en utilisant la formule du produit
    g(x)=1 + (x²-2x+2)*e^(-x)
    donc g'(x)= 0+ (...)(...)+(...)(...)
    mais attention à la dérivée de v avec v(x)= e^(-x), on a v'(x)=-e^(-x)
    -------------------
    Modifié par iza51 le 02-11-2008 20:57


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 21:01:25 (S | E)
    g(x)=1+(-x^2-2x+2)/e^x
    g'(x)=u'v-uv'/v^2
    g'(x)=(-2x-2)(e^x)-(-x^2-2x+2)(e^x)/(e^x)^2
    g'(x)-2x-2+x^2+2x-2(e^x)/(e^x)^2
    g'(x)=x^2(e^x)/(e^x)^2

    Voili voilou


    Réponse: Fonction exponentielle de iza51, postée le 02-11-2008 à 21:15:26 (S | E)
    mais tu as donné à ton premier post
    g(x)= 1 - ((x^2-2x+2)/e^x)
    ???
    tu dérives g(x)=1+(-x^2-2x+2)/e^x
    mais ce n'est pas la m^me fonction!!!
    il y a des erreurs de signes! rappels: - (x^2-2x+2)=-x^2+2x-2

    tu dois obtenir: g '(x)=(x²-4x+4)/e^x= ( ...)²/e^x
    le signe est alors immédiat
    -------------------
    Modifié par iza51 le 02-11-2008 21:37


    Réponse: Fonction exponentielle de paudesinge, postée le 02-11-2008 à 22:45:30 (S | E)
    Ah voui, je suis encore balot....ARF j'ai cherché midi à quatorze heure ^^
    Merci encore




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