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    Equation différentielle 1er ordre (1)

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    Equation différentielle 1er ordre
    Message de mychel posté le 26-10-2008 à 20:59:47 (S | E | F)

    bonjour jai un exercice d'equation différentielle du premier odre et je n'arrive pas a le resoudre:

    soit l'EDL suivant:
    2
    xy'+2y =-------
    x(x+1)


    TAF:

    trouver la solution particulière f telle que

    f(1)=ln2

    svp aidez moi.

    -------------------
    Modifié par lucile83 le 26-10-2008 21:03
    titre




    Réponse: Equation différentielle 1er ordre de iza51, postée le 27-10-2008 à 07:49:20 (S | E)
    Bonjour,
    voici ce que je propose:
    On suppose de a est une fonction continue définie sur un intervalle I.
    Toute équation différentielle de la forme y + a(x).y=0 admet pour solution générale
    y =constante . e^(-A(x)) , où A est une primitive de a sur I
    ici, l'équation différentielle est y' +(2/x)*y =0 ; a est continue sur I=]0; +∞[
    on choisit A(x)= 2 ln(x)
    alors la solution générale de l'équation sans second membre est g définie par


    on recherche une solution de l'équation (avec second membre)avec la méthode de la variation de la constante
    on la cherche sous la forme f(x)= h(x).(1/x²)
    f est dérivable sur I et

    f est solution de l'équation différentielle donc pour tout x dans I,

    alors
    alors
    alors
    alors

    conclusion: la solution générale de l'équation différentielle est donnée par

    on cherche alors la solution f vérifiant la condition initiale f(1)=ln(2)
    f(1)=2 ln(2)+k donc (constante )= k =-ln(2)
    ainsi la solution cherchée est la fonction f définie sur ]0; +∞[ par




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