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    [Maths]Espaces vectoriels (1)

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    [Maths]Espaces vectoriels
    Message de martinr posté le 27-04-2008 à 00:29:47 (S | E | F)

    Bonjour à tous,j'ai un probleme avec la fin de mon dm sur 2 exs sur les espaces vectoriels.Merci de m'aider à y voir plus clair.
    ex 1:
    Soit E=R3[x] et f:E vers E où f(p)=P(X+1)-P
    a)Prouver que f est un endomorphisme de E.
    b)déterminer ker(f),Im(f) et une base de ces 2 sev.

    Pour le a j'imagine qu'il faut d'abord montrer que f est une application linéaire?
    Pour le b je pense à la base canonique mais comment l'utiliser?

    ex 2:soit E ev sur R et f application linéaire sur E telle que pour v appartenant à E,f(v) appartient à Vect(v).Soit u un vecteur fixé non nul de E,il existe donc lambda réel tel que f(u)=lambda*u.
    a)Soit v appartenant à Vect (u),montrer que f(v)=lambda*v.
    b)Soit v n'appartenant pas à Vect (u),montrer que (u,v) est libre puis en observant f(u+v) prouver que f(v)=lambda*v.
    c)conclure que f=lambda..Ide.



    Réponse: [Maths]Espaces vectoriels de magstmarc, postée le 27-04-2008 à 00:45:13 (S | E)
    Hello martin,

    Pour le a j'imagine qu'il faut d'abord montrer que f est une application linéaire?

    Oui, et justifier rapidement quand même que le polynôme image est toujours dans E (je suppose qu'il s'agit des polynômes de degré < ou égal à 3)
    Pour le b je pense à la base canonique mais comment l'utiliser?
    Pour le Ker : facile de trouver tous les polynômes tels que P(x+1) = P(x)pour tout x réel (analyse puis réciproque)
    Pour l'Im : Forme générale d'un polynôme de degré 3 et un petit développement...il y a au moins un terme qui va se simplifier

    Pour le reste on verra plus tard




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