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intégrale
Message de asnl75 posté le 22-04-2008 à 16:43:26 (S | E | F)
f(x)= x²e^1-x

In = ¹₀xⁿe^1-x

Etablir la relation entre In+1 et In
J'ai calculé In+1
In+1 = ¹₀xⁿ⁺¹e^1-x
mais je n'arrive pas à établir la relation

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Modifié par magstmarc le 23-04-2008 15:26

Réponse: intégrale de iza51, postée le 22-04-2008 à 16:49:30 (S | E)
bonjour
utilise une intégration par parties!

Réponse: intégrale de asnl75, postée le 22-04-2008 à 18:02:22 (S | E)
soit u et v, 2 fonctions définies ainsi:
u(x)=x^(n+1) et v(x)= exp(1-x)

On a donc :
u(x) = x^(n+1) , donc u'(x)=(n+1)x^n
v'(x)= exp(1-x) , on choisit v(x)=-exp^(1-x)

I(n+1) = [ -exp(1-x). x^(n+1) ]1,0 + (n+1).In

I(n+1) = -1 + (n+1)In

Est ce que c'est ça ?

Réponse: intégrale de marie11, postée le 22-04-2008 à 18:49:49 (S | E)
Bonjour.

C'est bien le résultat qu'il faut obtenir, mais ce n'est pas de cette manière que l'on conduit une intégration par parties......A revoir !
Voici un lien :
$\Bigint_{1}^{3}xe^x dx$
Lien Internet

Réponse: intégrale de asnl75, postée le 22-04-2008 à 20:54:44 (S | E)
est ce que la dérivée de f(x)= x²e^(1-x) est bien f'(x)= 2xe^(1-x) + x²(1-x)e^(1-x)?

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Modifié par magstmarc le 23-04-2008 15:29

Réponse: intégrale de iza51, postée le 22-04-2008 à 21:24:44 (S | E)
non pas tout à fait
la dérivée de e^u, c'est u'e^u
avec u(x)=1-x
u'(x)=-1
tu dois pouvoir corriger

Réponse: intégrale de asnl75, postée le 22-04-2008 à 21:41:57 (S | E)
donc la dérivée est f'(x)= 2xe^(1-x) + x^2(-1e^(1-x))

Réponse: intégrale de iza51, postée le 22-04-2008 à 21:51:34 (S | E)
oui

Réponse: intégrale de asnl75, postée le 22-04-2008 à 22:57:10 (S | E)
après il faut que je dresse le tableau de variation de f mais sa ne corespond pas

X - infini 0 2 +infini
signe
de - 0 + 0 -
f'(x)

Variation croissante croissante décroissante
de f(x)

Réponse: intégrale de marie11, postée le 23-04-2008 à 00:27:13 (S | E)
La dérivée est :

f'(x)= x(2 - x)e^1-x

e^1-x > 0

le signe de f'(x) est celui du produit x(2 - x)

-∞ - 0 + 2 - +∞

Dans ]-∞ ; 0[ ;f est décroissante
Dans ]0 ; 2[ f est croissante
Dans ]2 ; + ∞[ f est décroissante

voici l'allure de la courbe :
{19846.gif}

Réponse: intégrale de mulute, postée le 24-04-2008 à 18:59:16 (S | E)
Après je dois calculer I1 et I2

In= ( 1 au dessus, 0 en dessous) x^n e^(1-x)

Pour I1
u'(x)= e^(1-x) u(x)= je n'arrive pas a calculer
v(x)= x v'(x)= 1

( 1 au dessus, 0 en dessous) xe^(1-x) = [x*v(x)]( 1 au dessus, 0 en dessous) - ( 1 au dessus, 0 en dessous) u(x)*1

Réponse: intégrale de iza51, postée le 24-04-2008 à 20:59:03 (S | E)
hello
on sait que exp(u)' = u' * exp(u)
pour donner l'expression d'une primitive de u'(x)=e^(1-x)
il faut essayer d'écrire u' sous la forme k*v'*exp(v) avec k réel

Réponse: intégrale de mulute, postée le 24-04-2008 à 21:30:16 (S | E)
-xe^(1-x)

Réponse: intégrale de iza51, postée le 24-04-2008 à 21:40:58 (S | E)
pour dériver -x*exp(1-x), j'utilise la formule donnant la dérivée d'un produit
la dérivée est alors une "somme" (-1*exp(1-x) - x*(-1)*exp(1-x)
ça ne marche pas !reprends ton calcul

u'(x)=exp(1-x)
"écrire u' sous la forme k*v'*exp(v) avec k réel "
une primitive sera alors k*exp(v) (dérive pour vérifier!)

regarde bien: k doit être réel! qu'est ce que v? v'?
ensuite tu pourras en déduire k

Réponse: intégrale de mulute, postée le 24-04-2008 à 21:49:22 (S | E)
je ne vois pas ce que tu veut dire par exp(v)

Réponse: intégrale de iza51, postée le 24-04-2008 à 21:52:41 (S | E)
tu cherches une primitive de u' avec u'(x)=exp(1-x)
v est la fonction définie par v(x)=1-x

avec cette notation
u'=exp(v)

Réponse: intégrale de iza51, postée le 24-04-2008 à 21:55:43 (S | E)
ensuite, il faut trouver k de sorte que u'= k*v' *exp(v)
après seulement tu trouveras une primitive de u'

Réponse: intégrale de mulute, postée le 24-04-2008 à 21:57:56 (S | E)
k = -1

Réponse: intégrale de iza51, postée le 24-04-2008 à 21:59:48 (S | E)
oui k=-1
alors qu'as tu trouvé pour u(x)?

Réponse: intégrale de mulute, postée le 24-04-2008 à 22:05:30 (S | E)
je ne suis pas sur du tout -1+x exp(1-x)

Réponse: intégrale de iza51, postée le 24-04-2008 à 22:14:51 (S | E)
bon! on reprend
si je dérive "-1+x exp(1-x)"
j'obtiens 0+1*exp(1-x)+x *(-1) exp(1-x)
c'est la formule de dérivée d'un produit

tu veux obtenir comme dérivée seulement exp(1-x)
qui est égal à -1*(-1)*exp(1-x)=-1* v' exp(v)

en fait on cherche à écrire exp(1-x) comme une dérivée pour en donner facilement une primitive; comme ça, on n'apprend pas le tableau de primitives usuelles, on se sert du tableau des dérivées

v' exp(v) c'est la dérivée de .....
donc -1* v' exp(v) c'est la dérivée de ......

donc la primitive cherchée est ..............

Réponse: intégrale de mulute, postée le 24-04-2008 à 22:24:19 (S | E)
v' exp(v) c'est la dérivée de v
donc -1* v' exp(v) c'est la dérivée de u'

donc la primitive cherchée est ..............

Réponse: intégrale de iza51, postée le 24-04-2008 à 22:39:44 (S | E)
x a "pour dérivée" 1
1 c'est "la dérivée" de x

x² a "pour dérivée" 2x
donc x c'est "la dérivée" de x²/2

exp(x) a "pour dérivée" exp(x)
donc exp(x) c'est "la dérivée" de exp(x)

2 exp(x) a " pour dérivée" 2 exp(x)
donc 2*exp(x) c'est "la dérivée" de 2* exp(x)

exp(x)+x*exp(x) c'est la dérivée de x*exp(x) car (uv)'=u'v+uv'

exp(1-x) a pour dérivée -1*exp(1-x)
donc -1*exp(1-x) c'est "la dérivée " de exp(1-x)

une opération très simple permet de compléter
exp(1-x) c'est la dérivée de ......

Réponse: intégrale de mulute, postée le 24-04-2008 à 22:49:10 (S | E)
exp(-1)

Réponse: intégrale de iza51, postée le 24-04-2008 à 23:03:59 (S | E)
mais non
on dérive exp(u) en faisant u'*exp(u)
donc exp(u) est une primitive de u'*exp(u)

exemple: exp(3x+1) est une primitive de 3*exp(3x+1)
autre exemple: 3*exp(5-2x) est une primitive -6*exp(5-2x)

tu cherchais une primitive de exp(1-x)....
il suffit de choisir -exp(1-x)

si on dérive, on retrouve exp(1-x) (vérifie...)

Réponse: intégrale de marie11, postée le 25-04-2008 à 11:53:52 (S | E)
Bonjour mulute.

Voici un lien sur les dérivées des fonctions composées.

Lien Internet

Vous trouverez la démonstration du calcul de la dérivée de e^u
u étant une fonction de x

d'où le résultat :

y = e^u ══> y' = u'e^u

Ainsi pour calculer par exemple :

y = e^x²

ici u = x² ══> u' = 2x

donc

y' = 2x e^x²

de même

y = e^1/x

ici u = 1/x ══> u' = -1/x²

donc

y' = -(1/x²)e^1/x

Dans l'exemple proposé :

y = e^1-x

u = 1 - x ══> u' = -1 ( la dérivée de 1 est 0 et la dérivée de -x est -1)

donc

y' = - e^1-x.

Pour calculer I₁ et I₂ référez-vous à la relation de récurrence entre I_n et I_n+1.

Il a été établit que :

I_n+1 = (n + 1)I_n - 1

Il suffit donc de calculer I₀ ( si n = 0 alors x⁰ = 1 )

$I_0 = \Bigint_{0}^{1} e^{1-x}dx$

Vous trouverez facilement le résultat en vous aidant des calculs précédents.

Réponse: intégrale de mulute, postée le 25-04-2008 à 14:59:22 (S | E)
pour I1 je trouve -2,71

Réponse: intégrale de mulute, postée le 25-04-2008 à 15:18:21 (S | E)
I1: Io+1= (0+1)I0 - 1 = 0,71 je ~~mettais trompais~~ m'étais trompée

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Modifié par magstmarc le 25-04-2008 19:16

Réponse: intégrale de mulute, postée le 25-04-2008 à 15:34:48 (S | E)
Et I2= 0,42

Réponse: intégrale de marie11, postée le 25-04-2008 à 16:30:11 (S | E)
Quelle est la valeur exacte de I₀ ?

En déduire les valeurs exactes de I₁ et I₂ .

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