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[Maths]exercice sur les suites T°S
Message de las57 posté le 20-04-2008 à 16:53:02 (S | E | F)
bonjour, j'ai un exercice sur les suites pour les vacances que je n'arrive pas à faire .
On se propose d'étudier la suites (Un) définie sur l'ensemble des entiers naturels par Uo=1 et Un+1=Un*e^(-Un) pour tout entier n, puis la convergence de la suite (Sn) définie par Sn=somme de p=0 jusqu'à p=n de Up.
1)montrer que Un est décroissante(On admet que Un est positive)
2)en déduire qu'elle converge et trouver sa limite.
3)Montrer que pour tout n, Un+1=e^(-Sn)
Message de las57 posté le 20-04-2008 à 16:53:02 (S | E | F)
bonjour, j'ai un exercice sur les suites pour les vacances que je n'arrive pas à faire .
On se propose d'étudier la suites (Un) définie sur l'ensemble des entiers naturels par Uo=1 et Un+1=Un*e^(-Un) pour tout entier n, puis la convergence de la suite (Sn) définie par Sn=somme de p=0 jusqu'à p=n de Up.
1)montrer que Un est décroissante(On admet que Un est positive)
2)en déduire qu'elle converge et trouver sa limite.
3)Montrer que pour tout n, Un+1=e^(-Sn)
Réponse: [Maths]exercice sur les suites T°S de iza51, postée le 20-04-2008 à 18:14:58 (S | E)
Bonjour
peut-être pourrais-tu commencer par prouver que les termes de la suite sont strictement positifs! Le calcul du rapport u_(n+1) / u_n et sa comparaion à 1 devrait te donner des réponses au 1°
Poste tes réponses pour la suite!
Réponse: [Maths]exercice sur les suites T°S de las57, postée le 20-04-2008 à 19:03:29 (S | E)
1)pour montrer que Un est strict positive j'ai utilisé la récurrence. notons Pn la proposition Un strict positive.
Uo est vraie car Uo=1 qui est strit supérieur à 0 alors P1est vraie.
Supposons pour tout n supérieur à 0 que Pn est vraie.
Montrons qu'alors Pn+1 est vraie c-à-d que Un+1 strict supérieur.
Or Un+1=Une^(-Un)=Un/e^Un qui est strict positive.
CCl: comme Pn+1 est vraie alors pour tout n supérieur à 0, Pn est vraie.
Un+1-Un=Une^(-Un)-Un=Un(e^(-Un)-1)
si Un est strict positive alors e^(-Un) est strict négatif et e^(-Un)-1 l'est aussi. Donc Un est décroissante. Je ne pense pas que mes explications soient suffisantes...
2)on utlise le théorème si une suite est décroissante et minorée alors elle converge. Je pense qu'elle converge vers 0 mais je n'arrive pas à démontrer cela.
en ce qui concerne la question 3) je n'arrive pas du tout.....
Réponse: [Maths]exercice sur les suites T°S de iza51, postée le 20-04-2008 à 19:13:01 (S | E)
tu as utilisé la différence entre u_(n+1) et u_n
ce serait plus facile de conclure avec le calcul du quotient des deux termes
u_n est positif mais on ne connait pas le signe de (u_n) -1
(ça dépend de la valeur de u_n)
pour le 2) la limite L de la suite doit vérifier f(L)=L
puisque u_(n+1)=f(u_n)
au fait quelle est cette fonction f, ici?
Réponse: [Maths]exercice sur les suites T°S de las57, postée le 20-04-2008 à 20:41:00 (S | E)
je ne comprends pas vos explication , de plus la différence des deux termes fonctionne normalement.
Réponse: [Maths]exercice sur les suites T°S de iza51, postée le 20-04-2008 à 21:00:33 (S | E)
u_(n+1) - u_n = u_n * (e^(-u_n) -1)
u_n >0
mais il faut étudier le signe de e^(-u_n) -1=e^(-u_n) -e^0
l'étude que tu as effectué n'est pas correcte
Réponse: [Maths]exercice sur les suites T°S de magstmarc, postée le 20-04-2008 à 21:24:11 (S | E)
Hello las,
Tu as écrit :
"si Un est strict positive alors e^(-Un) est strictement négatif"
--> c'est faux.
e^(-Un) est forcément strictement positif.
Pour tout x réel, ex > 0.
Le calcul de Un+1 - Un est une méthode pour prouver qu'une suite est croissante ou décroissante.
Mais dans le cas d'une suite définie par un procédé multiplicatif, et à termes strictement positifs, (c'est le cas ici) il sera en général plus simple d'étudier le quotient
Un+1/Un
comme l'a suggéré iza.
Si ce quotient est < 1 pour tout n, alors (Un) est strictement décroissante
Si ce quotient est > 1 pour tout n, alors (Un) est strictement croissante
Bonne continuation
-------------------
Modifié par magstmarc le 20-04-2008 21:24
Réponse: [Maths]exercice sur les suites T°S de iza51, postée le 20-04-2008 à 21:30:14 (S | E)
1) pour étudier le signe de e^(-u_n)-e^0, on peut utiliser le sens de variations de la fonction exponentielle
quel est le sens de variations de la fonction exponentielle?
2) une suite décroissante et minorée converge
c'est bien de l'avoir remarqué
Pour trouver sa limite L, il faut résoudre l'équation F(L)=L
Mais pour cela il faut avoir trouvé la formule donnant
F(L) en fonction de L (ou bien F(x) en fonction de x)
On regarde la formule donnant u_(n+1) en fonction de u_n
u_(n+1)= u_n * e^(-u_n)
u_(n+1)=F(u_n)
alors comment s'écrit F(L)?
3) on écrit les unes en dessous des autres les égalités
u_(p+1) = u_p *e^(-u_p) pour p compris entre 0 et n ,on obtient
u_1 = u_o *e^(-u_o)
u_2 = u_1 *e^(-u_1)
u_3 = u_2 *e^(-u_2)
etc.
jusqu'à
u_(n+1)= u_n * e^(-u_n)
est-ce que tu vois ce que tu pourrais en faire?
Réponse: [Maths]exercice sur les suites T°S de las57, postée le 21-04-2008 à 10:28:16 (S | E)
pour la question 1 je fais Un+1/Un=e^(-Un)=1/e^Un.
Or 1/e^Un<1 d'où on peut dire que Un est strictement décroissante.
pour la question 2, lim f(Un)=f(L) alors lim Un+1=f(L).Or lim Un+1=L. D'où par unicité de la limite f(L)=L
<=> L*e^(-L)=L
e^(-L)=1
1/e^(L)=1
L=ln(1) d'où L=0.
Pour la question 3 je ne vois pas le raisonnement........
Réponse: [Maths]exercice sur les suites T°S de iza51, postée le 21-04-2008 à 17:27:49 (S | E)
Bonjour las
pour résoudre l'équation F(L)=L
j'aurais préféré voir L*e^(-L) -L =0
puis L facteur de .....
puis L=0 ou e^(-L)=1
car on ne peut pas simplifier par L si L=0
bref ce serait plus rigoureux!
pour le 3)
regarde bien les égalités que j'ai donné hier
multiplie les égalités "membre à membre"
ça veut dire qu'il faut écrire:
u_1*u_2*u_3*...*u_n* ... = u_0*e^(-u_0) * u_1*e^(-u_1) * ... *...
(l'égalité ci dessus est à complèter par le dernier facteur à gauche, et par les derniers facteurs à droite)
puis simplifie au maximum (chaque u_p est non nul)
regarde ce qu'il reste
et ... tu devrais voir
(pense à utiliser une propriété des exponentielles)
Réponse: [Maths]exercice sur les suites T°S de las57, postée le 21-04-2008 à 19:48:11 (S | E)
bonsoir,
ton raisonnement tient la route mais je viens de parler à des camarades qui mon conseiller d'utiliser la récurrence....Donc je suis un peu
et surtout je te remercie pour l'aide que tu m'apporte iza51
Réponse: [Maths]exercice sur les suites T°S de iza51, postée le 21-04-2008 à 20:13:47 (S | E)
ok
Utiliser la récurrence est une bonne idée aussi
tant mieux si j'ai pu t'aider à comprendre
bonne continuation
