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[Maths]Qui peut m'aider
Message de th-youssef posté le 04-03-2008 à 12:22:52 (S | E | F)
c'est un olymbiade dont je sais pas la solution qui peut m'aider
Sachant que : tan(X1)tan(X2)tan(X3).......tan(Xn)=1
quel est le plus grand nombre que : sin(X1)sin(X2)......sin(Xn) peut avoir
merci d'avance
Message de th-youssef posté le 04-03-2008 à 12:22:52 (S | E | F)
c'est un olymbiade dont je sais pas la solution qui peut m'aider
Sachant que : tan(X1)tan(X2)tan(X3).......tan(Xn)=1
quel est le plus grand nombre que : sin(X1)sin(X2)......sin(Xn) peut avoir
merci d'avance
Réponse: [Maths]Qui peut m'aider de marie11, postée le 04-03-2008 à 14:27:09 (S | E)
Bonjour.
x1 ; x2 ; x3 ; ....... xn ne sont certainement pas des nombres aléatoires.
Par quelle relation sont-ils liés ?
Réponse: [Maths]Qui peut m'aider de vincenzolo, postée le 05-03-2008 à 20:48:11 (S | E)
le maximum valeur ne peut pas etre superieur à 1, parce que si un des termes étant plus petit de 1 le produit ne sera pas 1.
Réponse: [Maths]Qui peut m'aider de licornerose, postée le 06-03-2008 à 08:19:25 (S | E)
Bonjour Th,
Tu pourrais nous donner l'énoncé exact?
Merci.
LR
Réponse: [Maths]Qui peut m'aider de fr, postée le 06-03-2008 à 12:05:06 (S | E)
Bonjour th-youssef,
Je n'ai pas la solution, mais "intuitivement", le maximum de sin(X1)sin(X2)...sin(Xn) est obtenu lorsque tan(X1)=tan(X2)=...=tan(Xn)=1. Mais attention, cela doit être démontré (par récurrence, peut-être)
On a alors sin(X1)=sin(X2)=...=sin(Xn)=racine(2)/2
Donc le max du produit serait (racine(2)/2) à la puissance n...
Pour n=1, c'est facile à démontrer.
Je laisse les autres continuer, s'ils ont des idées ...
(PS : je pense que l'énoncé de l'exercice est complet ...)
Réponse: [Maths]Qui peut m'aider de fr, postée le 06-03-2008 à 13:01:42 (S | E)
Bonjour,
Tout d'abord on peut se contenter de choisir tous les Xi, dans l'intervalle ]0; pi/2[ (0 et pi/2 exclus, car il faut que tan(Xi) soit <>0 et défini) :
Tout d'abord , on ne considère que l'intervalle ]-pi; pi[ car les fonctions tan et sin sont périodiques...
Ensuite, le produit des sinus peut être strictement positif (par exemple en prenant tous les Xi=pi/4, on a alors tan(Xi)=1 et sin(Xi)>0, pour tout i), le maximum du produit est forcément positif, donc si un sinus est négatif pour Xi, il y en a un Xj tel que sin(Xj) soit négatif (pour la valeur maximale du produit), et on trouvera le même maximum en prenant X'i=-Xi et X'j=-Xj, le produit des tangentes n'étant pas modifié...
de même comme le produit des tangentes vaut 1, s'il y a Xi tel que tan(Xi)<0, il y en a forcément un autre tel que tan(Xj)<0, et on peut prendre X'i=pi-Xi et X'j=pi-Xj, on obtiendra la même valeur pour les sinus et le produit des tangentes est identique ...
on peut donc toujours se ramener à un cas où quel que soit i, sin(Xi) >=0 et cos(Xi) >=0
Je tente de démontrer pour n=2, que le maximum est atteint quand tan(X1)=tan(X2)=1,
par l'absurde :
si tan(X1) < 1, on a alors tan(X2) > 1
d'où 0<= sin(X1) < cos(X1) et 0<= cos(X2) < sin(X2)
or sin(X1-X2) = sin(X1)cos(X2) - cos(X1)sin(X2) < cos(X1)cos(X2) -cos(X1)sin(X2) < cos(X1)sin(X2) - cos(X1)sin(X2) = 0
donc sin(X1-X2) <0
d'où cos(X1-X2) <1
or cos(X1-X2) = cos(X1)cos(X2) + sin(X1)sin(X2)
et cos(X1)cos(X2) = sin(X1)sin(X2) (car tan(X1)tan(X2) =1)
d'où cos(X1-X2) = 2sin(X1)sin(X2)
d'où sin(X1)sin(X2) < 1/2, qui est donc inférieur à la valeur obtenue pour tan(X1)=tan(X2)
Or avec les valeurs X1=X2=pi/4, on obtient sin(pi/4).sin(pi/4) = 1/2
donc le maximum est obtenu quand tan(X1)=tan(X2)=1 CQFD (pour n=2)...
reste à généraliser ...
-------------------
Modifié par fr le 06-03-2008 14:11
Oups, une erreur s'est glissée au départ : le produit des sin ne peut pas être nul (sinon le produit des tan est nul aussi) ...
Remarque après réflexion, on peut démontrer plus simplement que :
pour n=2, le maximum est 1/2 :
on a toujours cos(X1-X2) = cos(X1)cos(X2) + sin(X1)sin(X2),
or comme tan(X1)tan(X2)=1, cos(X1)cos(X2) = sin(X1)sin(X2),
d'où cos(X1-X2) = 2sin(X1)sin(X2), or on a forcément cos(X1-X2) <=1,
d'où sin(X1)sin(X2) <= 1/2, or la valeur est atteinte pour X1=X2=pi/4, il s'agit donc du maximum ...
Il faut voir comment le généraliser à n>2 ...
Réponse: [Maths]Qui peut m'aider de fr, postée le 07-03-2008 à 17:22:05 (S | E)
Bonjour,
pour faire un petit pas supplémentaire, on peut démontrer que pour n donné, si on a 2 Xi pour lesquels on a tan(Xi)<>1, et pour tous les autres on a tan(Xi)=1, alors le produit n'est pas maximal.
on note alors Xa et Xb ces 2 nombres tels que tan(Xa)<1 et tan(Xb)>1 (les autres étant tous égaux à 1.
On montre alors (voir post du 06/03 à 13h01)
que le produit des sinus est < (racine(2)/2) à la puissance n
Conclusion : s'il y a 2 nombres Xi sont tels que tan(Xi)<>1, alors le produit des sinus est strictement inférieur au maximum présumé.
Il reste à montrer que s'il y en a plus de 2 qui ne satisfont pas à la condition "tan(Xi)=1", le produit des sinus est aussi < (racine(2)/2) puissance n
Réponse: [Maths]Qui peut m'aider de th-youssef, postée le 08-03-2008 à 14:33:44 (S | E)
Merci de votre aide meme
je sais pas si on peut pas utiliser le derivation
Réponse: [Maths]Qui peut m'aider de fr, postée le 13-03-2008 à 08:50:49 (S | E)
Bonjour,
Pour utiliser les dérivées, il faut en fait utiliser les dérivées partielles, mais je ne penses pas que cela soit à votre programme, vu votre âge, (quel est votre classe ?) ...
Pour faire simple, en se plaçant avec n=2, f(x,y)=sin(x).sin(y) peut être représenté par une surface. Celle-ci est très proche d'une grande "boite à oeufs" (avec les creux et les bosses...)
Cette surface présente des maximas (les sommets et les creux de la boite à oeufs).
Pour montrer que c'est un sommet, il faut montrer que c'est un sommet quelque soit la direction suivie ...
Dans votre exercice vous avez une contrainte imposée par le produit des tangentes. Cela revient à considérer une autre surface qui vient couper la précédente (comme si on coupait la boite à oeuf dans un certain plan, ou en déterminant l'intersection avec une autre surface)
Vous constatez en coupant votre boite que fonction de l'enfroit où vous coupez, vous ne passerez pas forcément par le soommets, vous aurez alors un autre maximum, sur la "coupe".
Pour en revenir à l'exercice avec n dimensions, la contrainte vous impose de ne pas pouvoir partir dans n'importe quelle direction.
Pour trouver un maximum, il faut que toutes les variations possibles du produit des sin soient nulles, en respectant la contrainte.
Une dérivée partielle est la dérivée par rapport à une variable en considérant les autres constantes :
La dérivée partielle du produit des sin par rapport à Xi est donc (F est le produit des sin : F=F(X1,...Xn)=sin(X1)sin(X2)...sin(Xn) :
dF/dXi = cosXi * produit des sin sans sin(Xi) = cos(Xi)/sin(Xi) * F = F * cotan Xi
on peut donc écrire, :
dF = F * somme (pour tout i) (cotan Xi * dXi)
mais il reste à exprimer la contrainte sur les tan : les dXi ne sont pas indépendants, donc on ne peut pas écrire que toutes les dérives partielles doivent être nulles ...
Confirmez-le moi, mais je pense que ce type de raisonnement n'est pas dans votre programme (il me semble avoir étudié cela en Bac+1 ou Bac+2 ...)
Réponse: [Maths]Qui peut m'aider de marie11, postée le 13-03-2008 à 15:46:57 (S | E)
Bonjour.
Voici une solution très simple à votre problème.
Hypothèse:
tanx1.tanx2.tanx3......tanxn = 1
Donc
sinx1.sinx2.sinx3.....sinxn = cosx1.cosx2.cosx3......cosxn
D'autre part pour tout a on a sin a ≤1 et on sait aussi que sin2a = 2sina.cosa
donc
chaque facteur du produit est inférieur à 1
et d'après l'hypothèse
puisque anbncn = (abc)n
on a donc
soit
et donc finalement
Conclusion :
le maximum est
Réponse: [Maths]Qui peut m'aider de fr, postée le 13-03-2008 à 18:08:34 (S | E)
Marie,Démonstration simple, efficace, rien à dire, sinon chapeau bas.
Je savais bien qu'il y avait une astuce à trouver, mais je ne trouvais pas laquelle...
Réponse: [Maths]Qui peut m'aider de th-youssef, postée le 14-03-2008 à 17:20:49 (S | E)
Merci tres bien pour ton aide Marie
Chapeau et tres bon continuation
