Similitude
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Message de aury21 posté le 17-04-2024 à 00:04:51 (S | E | F)
Bonjour,j'aurais besoin d'aide pour un exercice:
On se place dans un plan affine euclidien rapporté au plan complexe C. On note O l’origine d’affixe 0, A le point d’affixe 1, B le point d’affixe i et C le point d’affixe 1 + i. On considère la similitude directe s envoyant le point O sur O′ d’affixe z0 =1/3 +1/4i et le point A sur le point A′ d’affixe z1 =2/3 +1/3i.
1. Soit M un point d’affixe z. Exprimer l’affixe z′ de son image M′ = s(M) en fonction de z.
2. Donner les affixes z2 de B′ = s(B) et z3 de C′ = s(C).
3. Donner les équations cartésiennes complexes des deux droites
(OA) et (O′A′) et en déduire l’affixe p du point d’intersection P de (OA) et (O′A′).
4. Donner les équations cartésiennes complexes des deux droites (BC) et (B′C') et en déduire l’affixe q du point d’intersection Q de (BC) et (B′C').
5. Déterminer l’affixe ω du point fixe Ω par s.
6. Montrer que les points P, Q, Ω sont alignés.
1)Soit z→ az + b l’écriture complexe de s.On a b = z0 =1/3+1/4i et a=z1−z0=
1/3+1/12 i.
D’où :
z′=(z1−z0)z+z0 = (1/3+1/12i)z+1/3+1/4i.
2)z2 =1/4+7/12i et z3= 7/12+2/3i
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Merci d'avance pour votre aide
Message de aury21 posté le 17-04-2024 à 00:04:51 (S | E | F)
Bonjour,j'aurais besoin d'aide pour un exercice:
On se place dans un plan affine euclidien rapporté au plan complexe C. On note O l’origine d’affixe 0, A le point d’affixe 1, B le point d’affixe i et C le point d’affixe 1 + i. On considère la similitude directe s envoyant le point O sur O′ d’affixe z0 =1/3 +1/4i et le point A sur le point A′ d’affixe z1 =2/3 +1/3i.
1. Soit M un point d’affixe z. Exprimer l’affixe z′ de son image M′ = s(M) en fonction de z.
2. Donner les affixes z2 de B′ = s(B) et z3 de C′ = s(C).
3. Donner les équations cartésiennes complexes des deux droites
(OA) et (O′A′) et en déduire l’affixe p du point d’intersection P de (OA) et (O′A′).
4. Donner les équations cartésiennes complexes des deux droites (BC) et (B′C') et en déduire l’affixe q du point d’intersection Q de (BC) et (B′C').
5. Déterminer l’affixe ω du point fixe Ω par s.
6. Montrer que les points P, Q, Ω sont alignés.
1)Soit z→ az + b l’écriture complexe de s.On a b = z0 =1/3+1/4i et a=z1−z0=
1/3+1/12 i.
D’où :
z′=(z1−z0)z+z0 = (1/3+1/12i)z+1/3+1/4i.
2)z2 =1/4+7/12i et z3= 7/12+2/3i
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Réponse : Similitude de tiruxa, postée le 17-04-2024 à 22:17:41 (S | E)
Bonjour
Pour la question 3
M(z) appartient à (OA) ssi Im(z)=0 car (OA) est l'axe des abscisses
M(z) appartient à (OA') ssi z=z1 ou Im[(z-z0)/(z-z1)]=0
ssi (z-z0)(conjugué(z-z1))=(conjugué(z-z0))(z-z1)
en utilisant le fait que Im(z)=0 ssi z=conjugué(z)
Pour résoudre le système formé par les deux équations
Im(z)=0 donc z est un réel que l'on peut noter x
puis résoudre (x-z0)(conjugué(x-z1))=(conjugué(x-z0))(x-z1)
On utilise les propriétés des conjugués, on développe cela se réduit très bien et on trouve x=-2/3
Réponse : Similitude de tiruxa, postée le 18-04-2024 à 15:13:27 (S | E)
autre méthode
(O'A') est l'ensemble des points M'(z') tels que M'=s(M) et M(z) est sur (OA)
ce qui est équivalent à
z'=(1/3+(1/12)i)z+1/3+(1/4)i et z=x , xréel
ou
z'=(1/3)x+1/3+i((1/12)x+1/4) , x réel
Pour l'intersection avec (OA)
z'=(1/3)x+1/3+i((1/12)x+1/4) et im(z')=0
donc x=-3 et z'=-2/3.
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