équation complexe (cosx) du second degré

Bonjour ,

j'aurais besoin d'un peu d'aide pour comprendre un problème (mon erreur en fait) que me pose la solution d'une résolution d'une équation complexe du second degré.

Voici l'équation : 2cos²(x) + 5cos(x) - 3 = 0

Alors je ne sais pas si j'ai eu raison mais j'ai pensé que c'était une équation du second degré type aX²+bX+c=0

Donc j'ai cherché le discriminant Δ = b² - 4ac, avec les solutions x' =( -b + √Δ ) / 2a et x'' =( -b - √Δ ) / 2a, si il y en a.

Je trouve donc Δ = 5² - 4*2*(-3) = 1 => Δ > 0

Donc les solutions devraient être, si je ne me trompe :

cos'x = (-5+√1)/2*2 = (-5+1)/4 = -4/4 = 1 => x01(RAD) = π + (mais qu'elle est la période au fait ? premier problème ...)

cos"x = (-5-√1)/2*2 = (-5-1)/4 = -6/4 = -3/2 [cos"x étant une solution impossible, une non-solution donc]

Mais c'est maintenant que va se poser le problème principal, car par ailleurs, je trouve une autre solution, fournie par un professeur de mathématique (je pourrai donner lé référence si c'est nécessaire et authorisé, et/ou si on me la demande), une solution que je ne connaissais pas à ce type d'équation.

Par un raisonnement que je n'ai pas encore compris (mais là n'est pas le problème pour l'instant), l'équation 2cos²(x) + 5cos(x) - 3 = 0 se trouve pouvoir être factorisée de la sorte que le terme du milieu 5cos(x) soit décomposé en (-1cos(x)+6cos(x)).

Et que le produit de 2 par -3 (les cefficients a et c en quelque sorte de mon équation du second degré dont cos(x) est l'inconnue) apparaisse afin de pouvoir factoriser l'équation de départ ainsi :

2cos²(x) - 1cos(x) + 6cos(x) - 3 = 0

(mais ça, justement,c'est aussi un sujet que je dois trouver pour l'étudier parce que je n'en ai pas souvenir de l'avoir fait dans le passé => si vous pouvez m'indiquer au passage où se trouve le cours correspondant, sinon de toute façon je ferai des recherches sur les factorisations de polynômes du second degré. Je sais que c'est par là que ça se passe...).

Après la factorisation est simple => (2cos(x) - 1)(cos(x) + 3) = 0

Sauf que ça conduit à des solutions complètement différentes (là est mon problème principal) :

Car cela conduit d'une part à 2cos(x) - 1 = 0 avec : cos(x) = 1/2 , d'où :

x01 = π/3 + 2πn (n€Z) (Là je trouve la période puisque le coefficient "b" de la fonction cosb(x) = 1/2 est 1, et que la formule de la période est P=2π/b)

et

x02 = 5π/3 + 2πn (n€Z)

et d'autre part concernant l'autre facteur : (cos(x) + 3) = 0

cela entraîne que cos(x) = -3 qui est aussi une solution impossible.

ET C'EST LÀ QUE JE SUIS DANS LES CHOUX !!!

Quelle est mon erreur ? Pourquoi les deux méthodes ne mênent pas aux mêmes résultats ? Où est-ce que j'ai bifurqué et quitté la route sans m'en rendre compte ⛔ ??

Merci et à vot' bon coeur... 👨‍🎓