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    Nombre complexe

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    Nombre complexe
    Message de harmonique posté le 15-07-2022 à 17:30:49 (S | E | F)
    Bonsoir svp besoin d'aide à propos de la question 3 de l'exercice ci-contre.
    Soient Z1, Z2 et Z3 des nombres complexes non nulle ayant même module R.
    1)Prouver qu'il existe des complexe a et b tels que Z2=aZ1 et Z3=bZ2.
    2)Résoudre l'équation a²+b²-ab-a-b+1=0, en relation avec l'une des inconnues.
    3) En utilisant si possible la question 1, prouver que si (Z1)²+(Z2)²+(Z3)²=Z1.Z2 + Z2.Z3 +Z1.Z3 alors ou bien Z1=Z2=Z3 ou bien les nombres Z1 , Z2 et Z3 sont les affixes d'un triangle équilatéral.
    J'ai pu faire les question 1 et 2 mais je bloque sur la question 3.
    Merci de m'éclairer.


    Réponse : Nombre complexe de flaja, postée le 16-07-2022 à 14:37:28 (S | E)
    Bonjour

    la difficulté vient de la donnée : les 3 nombres ont le même module R
    1) soit : z1 = R exp(i alpha1) ... (une inconnue alpha1 réelle au lieu de z1 complexe)
    2) soit : z1 = x1 + i y1 avec x1²+y1² = R² ... (2 inconnues réelles liées par une relation)

    les images de z1 ... sont sur un cercle de rayon R : pour que leur somme soit nulle, ils doivent être séparés de 2pi/3
    comme les racines cubiques de l'unité (1, j, j²) vérifiant : 1+j+j² = 0
    triangle équilatéral quelconque (centré sur l'origine) : z1, z1*j, z1*j²
    z1, z2, z3 vérifient alors : z^3 = (z1)^3

    Rappel :
    z^3 = 1 possède 3 racines : (z-z1) (z-z2) (z-z3) = 0
    en développant : z^3 - 1 = z^3 - z² (z1+z2+z3) + z (z1 z2 + z2 z3 + z3 z1) - z1 z2 z3 = 0
    vérifiant les relations suivantes entre les racines :
    coeff de z² = 0 = z1+z2+z3
    coeff de z = 0 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1
    constante = -1 = - z1 z2 z3
    z1 = 1 ; z2 = j = (-1+i sqrt(3))/2 ; z3 = j² = (-1-i sqrt(3))/2

    # La somme de 3 vecteurs de même module = 0 => z1, z2=j*z1, z3=j²*z1
    en projetant selon z1 : z2/z1 = exp(i u) ; z3/z1 = exp(i v)
    z1 + z2 + z3 = 0 => 1 + z2/z1 + z3/z1 = 0
    partie réelle : 1 + cos(u) + cos(v) = 0
    partie imaginaire : 0 + sin(u) + sin(v) = 0 => u = -v
    d'où : 1 + 2 cos(u) = 0 => cos(u) = -1/2
    donc : sin(u) = +/- sqrt(3)/2
    z2/z1 = j ou j² et z3/z1 est le conjugué de u : j² ou j


    Question 1)
    piste fournie par la question 1 : z2 = a z1 et z3 = b z1 avec |a| = 1 et |b| = 1
    permet de factoriser la variable z1 : il reste 2 inconnues complexes a, b

    Question 2)
    a² - a(1+b) + b²-b+1 = 0
    delta = 1+2b+b² - 4b²+4b-4 = -3 (b²-2b+1) = 3i²(b-1)²
    a = ( 1+b +/- i sqrt(3) (b-1) ) / 2

    Question 3)
    z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = z1² + z2² + z3²
    z1² ( a + ab + b = 1 + a² + b² )
    on retrouve la question 2)
    plus que 2 inconnues complexes a, b (de module 1)

    a + ab + b = 1 + a² + b²
    on impose |a1| = 1 ou |a2| = 1
    (1+b)²/4 + 3/4 (1-b)² = 1 : 2 solutions b=0 et b=1

    -------------------
    Modifié par flaja le 16-07-2022 14:39





    Réponse : Nombre complexe de harmonique, postée le 17-07-2022 à 11:22:45 (S | E)
    Merci Flaja pour cette approche.
    Bonjour!!!




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