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    Application bijective

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    Application bijective
    Message de asmamoussaoui posté le 26-05-2022 à 02:52:36 (S | E | F)

    Bonjour ! pouvez-vous me corriger l'exercice suivant et me rajouter ce qu'il manque ? merci d'avance !

    Soit f une bijection de l’intervalle  [-1,3] sur  l’intervalle  [-1,1] et soit g l’application définie par g (x) = f  (2x – 1) .

    Montrer que g est une bijection d’un intervalle I sur un  intervalle J. Que l’on précisera.

     

     

    g(x) est une application bijective  g surjective et injective

    {x1, xij ; x1=x2f(x1)=f(x2)

    g(x1) = f(2x1-1)

    g(x2) = f(2x2-1)

    {f(2x1-1)= f(2x2-1)
    2x1-1=2x2-1
    x1=x2

    alors c'est une application réciproque

    on a : xI       g(x)=f(y)

    g(x)=f(2x-1)=f(y)

    y= 2x-1
    x=(y+1)/2

    alors c'est une application surjective

    donc, g(x) est une application bijective

     




    Réponse : Application bijective de tiruxa, postée le 26-05-2022 à 18:59:31 (S | E)
    Bonjour

    La première des choses est de trouver l'intervalle I

    Soit l'ensemble des réels x tels que 2x-1 soit compris entre -1 et 3

    On trouve rapidement que I=[0;2]

    Personnellement j'écrirai que g=fou avec u définie de [0;2] sur [-1;3] par u(x)=2x-1.

    Il suffit alors de démontrer que u est une bijection pour pouvoir conclure.

    Ceci dit pour la rédaction
    injection
    Soit x1 et x2 dans I tels que g(x1)=g(x2)
    g(x1) = f(2x1-1)
    g(x2) = f(2x2-1)
    donc
    {f(2x1-1)= f(2x2-1)
    comme f est injective, on a
    2x1-1=2x2-1
    donc x1=x2
    donc g est injective

    et pour la surjection :
    Soit y dans [-1,1] cherchons x dans I tel que g(x)=y ou f(2x-1)=y
    Comme f est bijective on sait qu'il existe z dans [-1,3] tel que f(z)=y
    donc f(2x-1)=f(z)
    or f est injective donc
    2x-1=z
    et x = (z+1)/2
    comme z est dans [-1,3] on a bien x dans [0,2]
    donc g est surjective



    Réponse : Application bijective de hicham15, postée le 26-05-2022 à 19:54:35 (S | E)
    Bonjour,

    Je veux juste ajouter qq chose qui peut etre utile pour celui qui a posé la question.

    On peut juste montrer l'existence et l'unicité de ce x (en surjectivité) pour conclure que c'est une application bijective.

    C'est le cas, puisque z existe et c'est unique, puisque f est bijective et x = (z+1)/2.




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