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    Relation d'équivalence

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    Relation d'équivalence
    Message de asmamoussaoui posté le 26-05-2022 à 01:42:38 (S | E | F)

    Bonjour, quelqu'u peut m'aider à résoudre cet exercice ? Merci d'avance !

    Soit E un ensemble et A une partie de E

    On définit dans P(E) (l’ensemble des parties de E) la relation R par :

    (x.y).(x.y) [P(E)]² xRy  Ax = A

    a) Montrer que R est une relation d’équivalence.

    b) Déterminer les classes d’équivalence suivantes :

    cI (A) , eI () , cI (E)


    -------------------
    Modifié par asmamoussaoui le 26-05-2022 01:44




    Réponse : Relation d'équivalence de hicham15, postée le 26-05-2022 à 14:38:14 (S | E)
    Bonjour,

    Tu peux nous présenter ce que tu as fait ? Tes suggestions de solution ?

    Si tu es complétement bloqué, on peut t'aider..

    Bonne journée.



    Réponse : Relation d'équivalence de hicham15, postée le 26-05-2022 à 19:46:48 (S | E)
    Bonjour,

    Merci pour la proposition.

    * R réflexive :

    Soit x de p(E).

    x inter A = x inter A ( en fait c'est vrm le même ensemble, la même écriture.. on a juste mis un signe d'égalité évident).

    D'où xRx.

    * R symétriques :

    Soient x, y de p(E) tels que xRy

    Donc x inter A = y inter A

    (x et y jouent un rôle similaire)

    Enfin, yRx

    * R transitive :

    Soient x, y, z de p(E)

    Supposons que xRy et yRz.

    Donx x inter A = y inter A et y inter A = z inter A.

    D'où : x inter A = z inter A.

    Finalement, xRz.


    Merci de proposer une solution pour b).



    Réponse : Relation d'équivalence de hicham15, postée le 27-05-2022 à 13:13:06 (S | E)

    Bonjour,

     

    b)
    * Classe d'equivalence de A :

    On sait que A inter A = A.
    Donc cI(A) = {x de P(E); xRA} = {x de P(E); x inter A = A} = {x de P(E); A ⊆ x}

    cI(A) est l'ensemble des ensembles contenant A.

     

    * Classe d'equivalence de Ø :

    On sait que Ø inter A = Ø

    Donc cI(Ø) = {x de P(E); xRØ} = {x de P(E); x inter A = Ø} 

    cI(Ø) est l'ensembles des différentes parties de E\A ( l'ensemble E moins l'ensemble A).

     

    * Classe d'equivalence de E :

    On sait que E inter A = A = A inter A

    (Autrement : E est un ensemble qui contient A)

    Donc E appartient à cI(A) 

    D'où cI(A) = cI(E)

     

    Bonne chance.






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