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    Arithmétique

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    Arithmétique
    Message de harmonique posté le 18-09-2021 à 07:03:53 (S | E | F)
    Bonsoir, s'il vous plaît j'ai besoin d'aide sur cet exercice.
    soient a,b et c des entiers naturels.
    Montrez que si a³+b³+c³ est divisible par 7, il en est de même pour le produit abc.
    Merci d'avance!!


    Réponse : Arithmétique de hicham15, postée le 18-09-2021 à 09:37:49 (S | E)
    Bonjour

    -D'abord vérifiez que : 7 divise abc <=> 7 divise au moins un des trois nombres.

    -Procédez par raisonnement d'absurde : supposez que 7 divise a^3 + b^3 + c^3 sans qu'il divise ni a ni b ni c.

    - En utilisant le petit théorème de Fermat, vous pouvez remarquer que a^3 =1 ou -1 modulo 7 (même chose pour b et c).

    -Or on a a^3 + b^3 + c^3 = 0 modulo 7. Peut en obtenir 0 en sommant 1 ou -1 un nombre impair de fois (ici 3 fois) ? Bien sûr NON. D'où l'absurde.

    Bonne journée.



    Réponse : Arithmétique de tiruxa, postée le 18-09-2021 à 21:16:16 (S | E)
    Bonjour

    Juste une remarque :

    Si on ne veut pas utiliser le th de Fermat
    on peut dire que a est congru à -3 ou -2 ou -1 ou 1 ou 2 ou 3 modulo 7
    Or 3^3 est congru à -1 modulo 7
    et 2^3 est congru à 1 modulo 7
    donc a^3 est congru à 1 ou -1 modulo 7.



    Réponse : Arithmétique de hicham15, postée le 18-09-2021 à 21:28:00 (S | E)
    Bonne remarque,

    Oui, ça sera même mieux de procéder avec votre méthode. (plus naturelle)

    Merci beaucoup.



    Réponse : Arithmétique de harmonique, postée le 18-09-2021 à 22:16:34 (S | E)
    Merci!! grâce à vous j'ai finalement compris.



    Réponse : Arithmétique de harmonique, postée le 18-09-2021 à 22:22:56 (S | E)
    S'il vous plaît comment peut-on montrer que:
    1964^1710=9^1720(modulo 16) ??



    Réponse : Arithmétique de hicham15, postée le 19-09-2021 à 12:24:53 (S | E)
    De rien.

    Est vous sûr de l'égalité ??

    1964^1710 est divisible par 16 ( car 1964^2 l'est),


    9^(qq chose) est toujours impair, donc pas divisible par 16.

    Vérifier bien ton égalité si la question est de la montrer.




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