Learn French 100% free Get 1 free lesson per week // Add a new lesson
Log in!

> Log in <
New account
Millions of accounts created on our sites.
JOIN our free club and learn French now!




Get a free French lesson every week!

  • Home
  • Contact
  • Print
  • Guestbook
  • Report a bug


  •  



    Inégalité de Bienaymé

    Cours gratuits > Forum > Forum maths || En bas

    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Inégalité de Bienaymé
    Message de kadfr posté le 07-09-2021 à 19:16:29 (S | E | F)
    Bonjour,
    Aux urgences d’un hôpital lors d’une épidémie, le nombre de malades qui arrivent chaque jour est donné par la variable aléatoire X d’espérance 72 et de variance 9.
    1°) Donner une majoration de P(∣X−72∣≥18) en appliquant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.
    On donnera la réponse sous la forme d'une fraction.
    2°) Donner une minoration de la probabilité que le nombre de malades soit strictement compris entre 51 et 93.

    1°) P(IX-72I>=18)<=9/(18²) = 1/36
    Donc P(IX-72I>=18) est majorée par 1/36

    2°) ( 93+51)/2=72
    L’écart est de 21
    P(IX-72I<=21)>=1-9/(21²)
    Donc P(IX-72I<21) est minorée par 48/49

    Est ce correct ? Surtout le 2°)

    Merci d’avance.


    Réponse : Inégalité de Bienaymé de tiruxa, postée le 08-09-2021 à 15:31:31 (S | E)
    Bonjour

    Oui c'est correct.

    Dans le 2 on peut toutefois expliquer davantage : 51<X<93 <=> |X-72|<21
    D'après l'inégalité on a
    p(|X-72|>21)<=9/21²
    donc
    -p(|X-72|>21)>=-9/21²
    donc
    1-p(|X-72|>21)>=1-9/21²
    donc
    p(|X-72|<21)>=48/49
    d'où la conclusion



    Réponse : Inégalité de Bienaymé de kadfr, postée le 09-09-2021 à 17:04:22 (S | E)
    Merci tiruxa,
    Oui, pour le 2°) j'ai appliqué carrément la formule de la minoration.
    J'aimerai comprendre tes détails:

    p(|X-72|>21)<=9/21² on a appliqué l'inégalité de Bienaymé...

    donc
    -p(|X-72|>21)>=-9/21²: On a multiplié des deux côtés par -1

    donc
    1-p(|X-72|>21)>=1-9/21²: On a ajouté 1 des deux côtés.

    donc
    p(|X-72|<21)>=48/49: mais ou' est passé le "1-" ci dessus dans le premier membre ?



    Réponse : Inégalité de Bienaymé de tiruxa, postée le 09-09-2021 à 21:19:57 (S | E)
    En fait c'est la proba de A barre (complémentaire de A) qui est égale à 1-p(A)

    Or le complémentaitre (ou contraire) de |X-72|>=21 est |X-72|<21 (je me rends compte que dans mon post précédent j'ai manqué de rigueur sur les inégalités)

    Donc 1-p(|X-72|>=21) = p(|X-72|<21)

    Donc si je reprends mon post en étant plus rigoureux sur les inégalités cela donne :

    D'après l'inégalité on a
    p(|X-72|>=21)<=9/21²
    donc
    -p(|X-72|>=21)>=-9/21²
    donc
    1-p(|X-72|>=21)>=1-9/21²
    donc
    p(|X-72|<21)>=48/49



    Réponse : Inégalité de Bienaymé de kadfr, postée le 10-09-2021 à 17:29:15 (S | E)
    Merci, j'ai tout compris.

    Est ce que les professeurs exigent ces détails ou bien on peut utiliser l'inégalité toute faite de la minoration ?



    Réponse : Inégalité de Bienaymé de tiruxa, postée le 10-09-2021 à 23:14:21 (S | E)
    Cela dépend des résultats donnés dans le cours bien sûr...

    Mais c'est bon de savoir le faire ainsi




    [POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]


    Cours gratuits > Forum > Forum maths