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    Chiffre des unités et dizaine

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    Chiffre des unités et dizaine
    Message de harmonique posté le 19-02-2021 à 16:11:25 (S | E | F)
    Bonsoir, besoin d'aide, s'il vous plaît :
    On considère le nombre N=AnAn-1....A1A0 écrit en base 10.
    1) Montrer que le reste de N dans la division euclidienne par 100 est A1A0 en base 10.
    2) En déduis le chiffre des unités et des dizaines de N=7^7^7^7, où a^b se lit a exposant b.
    J'ai fais la première question, mais je suis bloqué sur la seconde.
    Merci de m'aider.


    Réponse : Chiffre des unités et dizaine de tiruxa, postée le 19-02-2021 à 21:45:56 (S | E)
    Bonjour

    Pour la question 2 il faut raisonner modulo 100

    mais le problème c'es l'absence de parenthèses

    Par ex : ((2^2)^2)^2=(4^2)^2=16²=256

    mais 2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65536

    vous voyez que c'est très différent suivant la place des parenthèses



    Réponse : Chiffre des unités et dizaine de chezmoi, postée le 19-02-2021 à 22:29:26 (S | E)
    Bonsoir
    Je n'ai pas tout à fait compris mais...

    n 7^n (mod 100)
    1 7 7
    2 49 49
    3 343 43
    4 2401 1
    5 16807 7
    6 117649 49
    7 823543 43


    n 7^n (mod 10)
    1 7 7 -3
    2 49 9 -1
    3 343 3 -7
    4 2401 1 -9
    5 16807 7 -3
    6 117649 9 -1
    7 823543 3 -7

    Mais j'espère quwe cela vous aide un peu.

    Bonne chance!



    Réponse : Chiffre des unités et dizaine de tiruxa, postée le 19-02-2021 à 23:12:53 (S | E)
    Bon

    Ce qui est intéressant c'est que 7^4 est congru à 1 modulo 100

    On peut élever ce résultat à lapuissance que l'on veut

    Par ex (7^4)^80 est congru à 1^80 c'est à dire à 1 modulo 100

    Donc 7^320 est congru à 1 modulo 100

    C'est ce genre de résultat que vous devez utiliser, vous devez calculer ainsi :

    On a (7^7)^7 = 7^49

    donc ((7^7)^7)^7=(7^49)^7=7^343

    je vous laisse continuer...



    Réponse : Chiffre des unités et dizaine de harmonique, postée le 20-02-2021 à 10:55:42 (S | E)
    Merci, je me retrouve.



    Réponse : Chiffre des unités et dizaine de harmonique, postée le 20-02-2021 à 10:57:48 (S | E)
    C'est que dans l'éxercice, il n'y avait pas de parenthèse.



    Réponse : Chiffre des unités et dizaine de tiruxa, postée le 20-02-2021 à 11:46:24 (S | E)
    Ok donc on peut supposer qu'elles sont placées comme je l'ai fait.

    Vous avez du voir que les restes modulo 100 reviennent périodiquement avec une période égale à 4.

    Cela provient du fait que 7^4 est congru à 1 modulo 100

    Si je continue mon exemple 7^320 congru à 1 modulo 100

    je peux multiplier successivement par 7, 7² 7^3 puis 7^4 congru respectivement à 7, 49, 43 et 1 modulo 100

    on obtient alors 7^321 congru à 7 mod 100
    puis 7^322 congru à 49 mod 100
    et 7^323 congru à 43 mod 100
    puis 7^324 congru à 1 mod 100



    Réponse : Chiffre des unités et dizaine de harmonique, postée le 21-02-2021 à 11:43:09 (S | E)





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