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    Théorie des ensembles

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    Théorie des ensembles
    Message de libniz posté le 16-02-2021 à 20:34:07 (S | E | F)

    Bonsoir à tous. S'il vous plait j'ai un problème sur cet exercice. J'aimerais avoir de l'aide.

     

    Exercice:

    Soit  un ensemble. Pour , on définit , et par récurrence pour .

    1. Montrer que .

    2. Montrer que si f est bijective, alors .

     

    J'ai fait la première question par récurrence sur n, mais je n'arrive pas à faire la deuxième. Svp j'ai besoin d'aide. 

    Merci d'avance.

     




    Réponse : Théorie des ensembles de tiruxa, postée le 17-02-2021 à 10:34:21 (S | E)
    Bonjour,

    la récurrence fonctionne aussi pour la 2.

    Il faut utiliser le résultat de la 1 et le fait que si f et g sont bijectives, (fog)^(-1) = g^(-1) o f^(-1)



    Réponse : Théorie des ensembles de libniz, postée le 17-02-2021 à 17:01:07 (S | E)

           soit P(n) la proposition

         Montrons que P(n) est vraie

        Vérifions que P(0) est vraie

      ici il faut montrer que

      je sais que , car d'après l'énoncé de l'exercice, .

    Mais comment montrer aussi que

        Montrons que ,

       Soit , Supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) vraie

      On a:

              

                                   

     En utilisant le résultat de la 1 et le fait que si f et g sont bijectives, (fog)^(-1) = g^(-1) o f^(-1), je montre que

     Mais comment montrer que ?

    Merci pour votre réponse



    Réponse : Théorie des ensembles de tiruxa, postée le 17-02-2021 à 18:00:21 (S | E)
    Bonjour,

    Les notations données au début de l'énoncé sont valables pour tout f de F(X,X), f n'est pas un élément particulier, donc comme f^-1 est aussi élément de F(X,X) ces notations sont valables pour elle.

    Donc (f^(-1))^0 =Id

    et (f^(-1))^n o f^(-1) =(f^(-1))^(n+1)



    Réponse : Théorie des ensembles de libniz, postée le 17-02-2021 à 22:01:50 (S | E)
    Bonsoir.
    Okay. C'est clair à présent pour moi. Je doutais pour aussi utiliser les formules du départ pour f^-1.
    Merci beaucoup pour votre aide🙏




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