DM Suites divergentes et convergentes

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DM Suites divergentes et convergentes
Message de french4luck posté le 31-10-2020 à 11:15:08 (S | E | F)
Bonjour,

J'ai un exo que je n'arrive pas à faire pour ludni de la rentrée, pouvez vous m'aider ?
J' y arrive vraiment pas...

1)

Soit (Un) une suite numérique définie sur N et (Sn) la suite définie sur N par Sn = u0 + u1 + ... + un

On suppose que la suite (Sn) converge et on note l sa limite
a) Que vaut la limite de Sn + 1
Je pense que Sn = (Un(Un + 1))/2
Et Sn+1 = (Un+1(Un+1 + 1))/2
donc il faut trouver la limite de (Un+1(Un+1 + 1))/2

b) pour tout entier naturels n, déterminer Sn+1 - Sn
D'après mon raisonnement (Un+1(Un+1 + 1))/2 - (Un(Un + 1))/2 ??

c) En déduire la limite de la suite (Un)
Là je ne vois vraiment pas..

2) On veut savoir si la propriété suivante est vraie ou fausse "Si la suite (Un) a pour limite 0 alors la suite (Sn) converge'"
n
Pour cela on considère la suite (Sn) définie sur N* par Sn = Σ 1/k
k=1
(désolé un peu brouillon mais je ne sais pas comment faire autrement :/)
et on suppose que la suite (Sn) converge vers un nombre réel l

a) Que vaut lim S2n ? En déduire que lim (S2n - Sn) = 0
2n
b) Justifier que pour tout entier n est supérieur ou égal 1, S2n - Sn = Σ 1/k
k = n+1
puis démontrer que S2n - Sn est supérieur ou égal à 1/2

c) Pourquoi cela est-il en contradiction avec le fait que la suite (Sn) converge ? Conclure

2ème partie assez compliqué pour moi, j'espère avoir de l'aide pour mieux comprendre ce DM,
Merci d'avance

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 31-10-2020 à 15:42:41 (S | E)
Bonjour,

Evidemment vous auriez pu vous y prendre plus tôt... mais bon on va quand même vous aider.

Pour la première partie d'abord. Ce que vous avez fait est hélas comlètement faux...

D'abord une suite est une liste infinie de termes que l'on désigne par un de ses terme appelé terme général qui est terme de rang quelconque...

Par exemple la suite 1², 2², 3², 4², 5², ..., n², (n+1)², .....
Peut se désigner par u(n)=n² mais aussi u(n+1)=(n+1)²... c'est la même suite !

Donc si u(n) a une limite u(n+1) a la même limite puisque c'est la même suite.

Voilà donc pour le a) c'est l tout simplement !

Pour le b) Sn est la somme des uk, k variant de 1 à n
S(n+1) est la somme des uk, k variant de 1 à n+1 (il y a donc un terme de plus dans cette somme et quand on soustrait les deux sommes c'est celui là qui reste)...

Enfin au c) utiliser le a) pour obtenir la limite du résultat du b).

Dites moi si cela vous a permis de trouver avant d'attaquer la 2ème partie.

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de french4luck, postée le 31-10-2020 à 20:52:30 (S | E)
Bonsoir,

Oui je sais j'aurais du m'y prendre plus tôt, je suis le seul fautif 😅

a) D'accord je comprends mieux, donc limite de de Sn+1 quand n tend vers +∞ = la limite de Sn ? Rédigé comme ça c'est bon vous pensez ?

b) Là je dirais Sn+1 - Sn = Un+1 ? c'est le terme qui reste ? Mais une fois de plus, est-ce la bonne manière de l'écrire ?

c) Je ne suis pas sûr de suivre...

Merci beaucoup pour votre aide tiruxa, si vous pouvez m'aider pour tout finir dans les temps, je vous serais infiniment reconnaissant,

Bonne fin de soirée à vous

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de lemagemasque, postée le 31-10-2020 à 21:47:35 (S | E)
Bonjour,

a) Oui, votre rédaction est correcte (vous verrez la démonstration formelle de ce résultat dans le supérieur, quand vous étudierez les suites extraites).

b) Oui, c'est bien ça. J'aurais cependant rajouté : 'Soit $n \in \mathbf{N}$ ' au tout début.

c) Si $n \rightarrow + \infty$ alors que vaut $S_{n + 1} - S_{n}$ ? (utilisez la a)
À quoi est égal $S_{n + 1} - S_{n}$ ? (utilisez la b)
Conclure.

Pour la 2e partie :

a) On suppose toujours que $(S_n)_n$ converge.
$(S_{2n})_n$ , c'est toujours $(S_n)_n$ , mais en rayant les termes d'indice impair (puisque 2n est toujours pair). Donc, si $(S_n)_n$ converge vers l, alors $(S_2n)_n$ converge vers...

b) Soit $a \leq b < c$ alors $\sum_{k = a}^c \frac{1}{k} = \sum_{k = a}^b \frac{1}{k} + \sum_{k = b + 1}^c \frac{1}{k}$ (sorte de relation de Chasles avec les sigmas, qui s'explique par la propriété d'associativité de l'addition : (a + b) + c = a + (b + c)).

Pour la 2e partie de la question, vous devez majorer $S_{2n} - S_{n}$ . Dans la somme, quel est le terme le plus petit (pour rappel, la fonction inverse est décroissante sur $\mathbf{R}_+^*$ ). Et si on ajoute $2n - (n + 1) + 1$ fois ce terme, qu'est-ce qu'on obtient ?

c) Utilisez la a).
Soient 2 suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ telles que $\forall n \in \mathbf{N} \text{, } u_n \geq v_n$ .
Si $(v_n)_n$ converge vers $l_v$ , et que l'on suppose que $\lim u_n = l_u$ existe alors quelle relation peut-on établir entre $l_u$ et $l_v$ ?
Vers quoi converge la suite $(v_n)_n$ si $\forall n \in \mathbf{N}, v_n = \frac{1}{2}$ ?

Bon courage !

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 31-10-2020 à 22:08:22 (S | E)
Bonjour,

Attaquons donc la 2eme partie

Pour la suite S2n, il s'agit en effet d'une suite extraite de la suite Sn (comme le dit lemagemasque), on ne prend que les termes de rang pair.

On vous demande juste de dire quelle la limite de S2n, il n'y a pas de démonstration formelle à effectuer.

Intuitivement on sent bien que si les termes de Sn s'accumulent autour de l (dans un intervalle centré en l aussi petit que voulu) à partir d'un certain rang, ceux de rangs pairs y seront aussi, donc la limite est la même donc l.

La suite un peu plus tard désolé mais je suis occupé là.

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de french4luck, postée le 31-10-2020 à 22:41:49 (S | E)
Bonjour lemagemasque,

Merci de prendre de votre temps pour me répondre,

b) D'accord je le mettrai également lors de ma rédaction

2ème partie,

Attention pour la 2ème partie la rédaction n'est pas optimale c'est Sn = symbole sigma avec avec n au dessus et k=1 en dessous = 1/k
et pour la b, c'est S2n - Sn = sigma avec 2n au dessus et k = n + 1 en dessous = 1/k au cas où vous n'auriez pas remarqué, j'en doute mais sait-on jamais.

a)Je pense dire une ânerie, mais S2n convergerait vers 2l ?

b)Je suis pas sûr de vous suivre une fois de plus, je pensais que la relation de Chasles ne s'appliquait qu'aux vecteurs (je suis en Terminale S)

2ème partie de la question : le plus petit terme est 0 ? et si oui ça donne toujours 0 ? (Mais pour la coup je pense que c'est faux)

c) C'est compliqué... 😅 lu est supérieur ou égal à lv ? La suite converge vers 1/2 ??

Aucun soucis tiruxa, bonne soirée

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de lemagemasque, postée le 31-10-2020 à 23:43:07 (S | E)
Pas de souci !

Pour la 1) c), c'est bon du coup ?

2e partie :
Attention [...]
Oui, j'avais vu . D'ailleurs $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ = « somme pour k allant de 1 à n de 1 sur k »

a) Oui, c'est bien une gognandise ^^
Prenons une suite convergente, telle que la suite $(u_n)_n$ définie par $u_n = \frac{1}{n} + 1$ pour tout n. Alors que vaut $u_{2n}$ et donc, la limite de cette suite ?
Si on revient à la question initiale, que vaut logiquement $S_{2n}$ lorsque $n \rightarrow + \infty$ ?

b) En fait, on parle de relation de Chasles dans divers contextes : pour les vecteurs, les intégrales, les angles orientés... et les sommes.
2e partie de la question : ce n'est pas correct ^^ 0 n'est jamais atteint ( $\forall k \in [\![n + 1, 2n]\!], \frac{1}{k} > 0$ ). Alors si $k \mapsto \frac{1}{k}$ est décroissante sur $[\![n + 1, 2n]\!]$ , alors quel est le plus petit terme atteint ?

c) lu est supérieur ou égal à lv ?
Oui Donc $\lim S_{2n} - S_n \geq \frac{1}{2}$ .
Or, vous avez montré que $\lim_{n \rightarrow \infty} S_{2n} - S_{n} = 0$ (en supposant que $(S_n)_n$ était convergente).
Donc, cela voudrait dire que $0 \geq \frac{1}{2}$ . Contradiction...

Par conséquent, $(S_n)_n$ ne peut être convergente.

Raisonnement par l'absurde.

Si on résume, vous avez montré que pour que $(S_n)_n$ converge, il faut que $(u_n)_n$ converge vers 0 (condition nécessaire ; 1re partie de l'exercice).
MAIS si $(u_n)_n$ converge vers 0, alors $(S_n)_n$ ne converge pas tout le temps (la réciproque de la proposition précédente est fausse ; 2e partie de l'exercice).

Vous avez en fait étudié dans cet exercice des séries numériques (S_n) (notion que vous retrouverez en 2e année de prépa), et vous avez illustré le résultat « si $(u_n)_n$ converge vers 0, alors $(S_n)_n$ ne converge pas tout le temps » par l'étude de la série harmonique.

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 00:10:08 (S | E)
Bon je reviens un peu tard, mais vous avez bien avancé.

Pour le 2°a) je suis quand même surpris que vous donniez une réponse fantaisiste alors que j'avais donné la bonne réponse dans mon post !

Juste un mot sur la fin le c)

Il s'agit d'un "passage à la limite" dans une inégalité comme on en fait à l'aide du théorème des deux gendarmes par exemple, rien de bien compliqué.
Par exemple si un >= vn pour tout entier n, avec lim un =L et
lim vn=3 on en déduit que L >=3.

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de french4luck, postée le 01-11-2020 à 12:42:36 (S | E)
Bonjour,

Désolé je me suis endormit avant de voir vos posts 😴

Alors lemagemasque,

1) c) toujours pas trop compris...

a) Je m'en doutais... :/ limite de S2n quand n tend vers +∞ = U2n ??

b)ça je savais pas, du coup comment puis-je m'y prendre ?

2ème partie,

Ah d'accord donc 1/k est strictement supérieur à 0, la plus petite valeur serait 1 ? (Je ne sais pas si je dois donner un nombre ou une égalité)

c) Donc la c est juste, je dois juste la rédiger comme vous venez de le faire ? et oui le DM parle de l'harmonisation, chose dont j'ignorais totalement l'existence avant qu'il nous donne ce DM 😅, donc ça reste un peu flou pour le moi...

tiruxa, je sais mais c'est assez compliqué pour moi😅

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 14:40:05 (S | E)
Bonjour,

J'ai l'impression que l'on revient en arrière...

Pour le 1a) et 1b) vous donnez les bonnes réposes dans votre post de 20h52 et lemagemasque les valide dans la foulée... donc aucun problème non ?

Pour le 1c

On sait ce que vaut S(n+1)-S(n)
On connait la limite de S(n+1) et celle de S(n) donc celle de deur différence c'est à dire de..... c'est à dire aussi de.....

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 14:46:10 (S | E)
Pour la deuxième partie

au sujet de l'inégalité

Un exemple
Si on a

1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8

On a 6 termes dont le plus petit est 1/8 (car lesinverses sont rangés dans l'ordre inverse, car la fonction inverse est décroissante sur R+*)

Donc la somme est supérieure à 6*1/8 soit 3/4.

C'est lemême genre de raisonnement que vous devez faire.

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de french4luck, postée le 01-11-2020 à 14:52:57 (S | E)
Oui les questions 1) a) et 1) b) sont comprises et la 2) c) aussi lemagemasque y a répondue dans son post.

Par contre la 2)a) et b) je bloque... surtout avec la relation de Chasles pour la b) ...

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 14:53:21 (S | E)
Enfin au 2emec) si on résume on a ceci :

Si S(n) converge et a pour limite L alors S(2n) converge et a pour limite L (vu au 2a)

Si on "passe à la limte" dans l'inégalité du 2b) on L-L >=1/2

Ce qui permet de conclure...

Dernier conseil : Soignez la rédaction

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 14:58:50 (S | E)
Pour la 2 b) pas nécessaire de formaliser avec Chasles si vous ne maitrisez pas...

S(2n)=1+ 1/2 +1/3 +......+1/(n-1) + 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2)+...+1/(2n)

S(n)=1+ 1/2 +1/3 +......+1/(n-1) + 1/n

Si on soustrait les deux vous voyez bien ce qui reste ...

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de french4luck, postée le 01-11-2020 à 15:15:19 (S | E)
Ok alors,

Pour la 1) c) ce que vous m'avez dit "On sait ce que vaut S(n+1)-S(n)
On connait la limite de S(n+1) et celle de S(n) donc celle de leur différence c'est à dire de..... c'est à dire aussi de....."

n connait la limite de S(n+1) et celle de S(n) donc celle de leur différence c'est à dire de un+1 c'est à dire aussi de Un ???

2)a)

2)b) S2n - Sn = 1/(n+1) + 1/(n+2)+...+1/(2n, c'est S2n ?

2)c) si je marque ça ? Soit 2 suites (Un) et (Vn) telles que pour tout n appartenant à N, Un est supérieur ou égal à Vn, Si (Vn) converge vers lv et que l'on suppose que lim Un = lu, alors lu est supérieur ou égal à lv, Donc lim S2n - Sn supérieur ou égal à 1/2.

Or on a montré que lim (quand n tend vers + infini) S2n - Sn = 0 (tout en supposant que (Sn) était convergente)

Donc 0 est supérieur ou égal à 12, une contradiction,

Donc par conséquent (Sn) ne peut être convergente.

Est-ce une bonne manière de rédiger ?

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 16:41:54 (S | E)
Oui la rédaction est correcte mais le 2b) est incomplet.

Il faut en effet justifier l'inégalité

Quel est le plus petit de tous les termes écrits ?

Combien en a t on écrits ?

Conclure que la somme est supérieure au produit de ces deux nombres commedans l'exemple que j'ai donné en début d'am...

Bon c'est presque fini un dernier effort !

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de french4luck, postée le 01-11-2020 à 16:48:56 (S | E)
Il reste la 2)a) et la 2)b) et la 1)c) qui est juste ou pas du coup ?

Le plus petit terme est 1 ? ou Sn ?

On en a écrit 2 non ? S2n et Sn

Désolé je ne vois vraiment pas le raisonnement...

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 17:55:49 (S | E)
Le plus petit terme est celui qui a le plus grand dénominateur

Mais non !

Dans cette somme : 1/(n+1) + 1/(n+2)+...+1/2n

Combien y a t il de termes ? Combien de fractions si vous préférez.

Pour le 1c) oui c'est juste

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de french4luck, postée le 01-11-2020 à 18:03:14 (S | E)
D'accord pour la 1)c) mais comment je rédiges ?

Ah,

Il y a 3 termes dans cette somme et le plus petit terme est 1/2n ?

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 18:23:31 (S | E)
mais non il y a des termes dans les points de suspension

si n valait 10

on aurait 1/11 + 1/12+ ... +1/20

Combien y a t il de termeset quel est leplus petit d'entre eux ?

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 18:26:58 (S | E)
Pour la 1c) vous avez écrit :

On connait la limite de S(n+1) et celle de S(n) donc celle de leur différence c'est à dire de un+1 c'est à dire aussi de Un ???

Oui c'est bon sauf qu'il faut donner cette limite pas simplement dire qu'on la connait...

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de french4luck, postée le 01-11-2020 à 19:00:01 (S | E)
Ah, ba là il a 10 termes et le plus petit est 1/20, mais pour l'autre c'est pas la même chose...

1)c) C'est encore flou, on sait que Sn+1 - Sn = Un+1, il faut faire quelque chose avec ça non ?

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 19:45:09 (S | E)
Mais non c'est exactement pareil !!

Pour trouver 10 termes tu as fait 20-11+1

Donc de(n+1) à (2n) fait le même calcul pour trouver le nombre de termes

Pour le 1c)

On connait la limite de S(n+1) et celle de S(n) donc celle de leur différence

Il suffit juste de compléter ceci :

lim Sn+1=....

lim Sn=....

donc lim (Sn+1 - Sn)=.....

donc lim un+1=....

donc lim un=....

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de french4luck, postée le 01-11-2020 à 19:58:35 (S | E)
1)c)

lim Sn+1= lim Sn
lim Sn= lim sn+1

donc lim (Sn+1 - Sn)=Un+1

donc lim un+1= (Sn+1 - Sn)

donc lim un=....

Je comprends pas la logique là ??

Ensuite,

ça donne 2n - (n+1) + 1 = nombre de terme ?

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 21:19:14 (S | E)
Effectivement vu comme cela c'est pas logique du tout...

Au départ lim Sn=L (hypothèse)

puis on trouve lim Sn+1= L (car c'est la même suite)

on en déduit lim Sn+1 - Sn=....

Or on a vu que Sn+1 - Sn = Un+1

donc lim Un+1=....

et donc lim Un=....

Pour le nombre de termes c'est juste, si on calcule cela donne n... en déduire l'inégalité...

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de french4luck, postée le 01-11-2020 à 21:21:38 (S | E)
Je suis vraiment largué là...

Désolé ça prend surement + de temps que prévu pour la résolution mais là, vraiment pour la 1)c) 2)a) et 2)b) j'y arrive pas ...

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de tiruxa, postée le 01-11-2020 à 21:30:43 (S | E)
Bon c'est pas grave l'essentiel c'est d'avoir vraiment cherché.... cela n'aurait aucun intérêt que l'on vous donne une solution à recopier...

Recopiez ce que vous avez compris et même des bribes de solutions si vous avez, cela peuvent être apprécié par votre correcteur.

Bon courage

Réponse : DM Suites divergentes et convergentes de french4luck, postée le 01-11-2020 à 21:33:01 (S | E)
Je sais mais j'ai pas envie de me prendre une sale note quoi ...

Vous êtes sûr que vous ne pouvez pas m'aider d'avantage ?? 🙏 Je vous en serez infiniment reconnaissant

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