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    Limite d'une suite récurrente

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    Limite d'une suite récurrente
    Message de nicole posté le 28-10-2020 à 09:22:52 (S | E | F)
    Bonjour j’ai un dm pour les vacances j’ai essayé d’y plusieurs fois mais je n’y arrive pas donc je sollicite votre aide:

    Soient Un et Vn deux suites définies par Uo=2, Vo=10 et, pour tout entier naturel n: Un+1=(2Un+Vn)/3 et Vn+1=(Un+3Vn)/4

    1.a. Montrer qu’en, pour tout entier naturel n:
    Vn+1-Un+1=5/12(Vn-Un)

    b. Pour toute entier n , on pose Wn=Vn-Un. Montrer que, pour tout entier naturel n, Wn=8(5/12)^n

    Merci beaucoup!


    Réponse : Limite d'une suite récurrente de ho67, postée le 28-10-2020 à 10:56:05 (S | E)
    Soient Un et Vn deux suites définies par Uo=2, Vo=10 et, pour tout entier naturel n: Un+1=(2Un+Vn)/3 et Vn+1=(Un+3Vn)/4

    1.a. On a pour tout entier naturel n:
    Vn+1-Un+1=((Un+3Vn)/4)-((2Un+Vn)/3)
    =(3/12)(Un+3Vn)- (4/12)(2Un+Vn)
    =(1/12)((3Un+9Vn)- (8Un+4Vn))
    =(1/12)(3Un+9Vn- 8Un-4Vn)
    =(1/12)(5Vn- 5Un)
    =(5/12)(Vn- Un)


    b. Pour toute entier n , on a;
    Wn=Vn-Un.
    Alors Wn+1=Vn+1-Un+1
    D'après 1.a) on a
    Wn+1=(5/12)(Vn- Un)
    Wn+1=(5/12)Wn
    Donc la suite (Wn) est geometrique de raison 5/12.
    D'où Wn=W0*(5/12)^n.
    On a: W0=V0-W0=10-2=8.
    Enfin Wn=8(5/12)^n.



    Réponse : Limite d'une suite récurrente de wab51, postée le 28-10-2020 à 11:24:36 (S | E)
    Bonjour
    Vous devriez constater qu'il s'agit de simples applications du cours .Il faut savoir son cours et bien le comprendre .
    1.a. Montrer qu’en, pour tout entier naturel n:Vn+1-Un+1=5/12(Vn-Un)
    Remplacer Vn+1 et Un+1 puis réduire au meme dénominateur et enfin simplifier le numérateur et mettre en facteur.Le résultat est immédiat
    b. Pour toute entier n , on pose Wn=Vn-Un. Montrer que, pour tout entier naturel n, Wn=8(5/12)^n
    Montrer que la suite (Wn)n est une suite géométrique ?
    Pour cela ,il suffit de montrer que pour tout entier naturel n, le quotient Wn+1/Wn est constant et égal à un nombre réel non nul q .
    *Remplacer Wn+1 et Wn puis simplifier pour trouver q ( qui est la raison de la suite géométrique de premier terme W0=? à calculer puisque V0 et U0 sont connues et connues.Connaissant maintenant la nature de la suite qui est géométrique ,on en déduit son terme général Wn en fonction de n ?

    Je pense qu'en suivant ses explications ,vous y arrivez par vous meme à comprendre et à répondre .Bon courage et bonne chance




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