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    Vecteurs
    Message de perfect posté le 24-10-2020 à 11:54:50 (S | E | F)
    Bonjour,

    J'aimerais votre aide pour un exercice qui me pose quelques difficultés.

    ABCD est un parallélogramme de centre O. Une droite qui passe par O coupe la droite (AD) en M, la droite (AB) en N, la droite (CD) en P, et la droite (CB)en Q.
    Démontrez que vec(NB)=vec(DP) et vec(MD)=vec(BQ)

    Pour démontrez que vec(MD)=vec(BQ),
    j'avais pensé dire que [MQ] a son milieu en O,
    [BD] aussi
    Ainsi BQDM forme un parallélogramme, donc vec(BQ)=vec(MD)
    Mais comment pourrai-je affirmer que [MQ] a son milieu en O,il faudrait le prouver, non ?

    Merci beaucoup pour votre aide!


    Réponse : Vecteurs de wab51, postée le 24-10-2020 à 14:44:33 (S | E)
    Bonjour
    L'idée d'avoir pensé à approuver( à démontrer) que le quadrilatère BQDM est un parallélogramme est convenable en appliquant les propriétés :
    1)"Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme ".
    2)"Les deux diagonales se coupent en leur milieu O .Ce point O est le centre de symétrie du parallélogramme".

    Ainsi pour démontrer que le quadrilatère BQDM est un parallélogramme ,utiliser la symétrie.
    [DA] est le symétrique de [AB] par rapport à O .
    Etant donné que les points Q,O et M appartiennent à la meme droite ,ils sont donc alignés .Comme Q est un point du [BC] ,son symétrique par rapport à O appartient forcément à [AD] et aligné avec O et Q ,ce n'est d'autre que le point M .En conséquence ,[BQ] est le symétrique du [DM].Autrement dit
    (BQ)//(DM) et BQ=DM ce qui traduit que vec(BQ)=vec(DM).

    **Faire le meme raisonnement en considérant le quadrilatère BNDP pour démontrer que vec(NB)=vec(DP).
    Bon courage et bonne continuation .



    Réponse : Vecteurs de wab51, postée le 24-10-2020 à 14:59:35 (S | E)





    Réponse : Vecteurs de perfect, postée le 25-10-2020 à 10:26:29 (S | E)
    Bonjour,

    Merci beaucoup.
    Voici le même raisonnement appliqué pour prouver que vec(NB)=vec(DP):

    (AB) est le symétrique de (DC) par rapport à O. P, Q et N appartiennent à la même droite, ils sont donc alignés. Comme N est un point de (AB), son symétrique appartient forcément à (DC) et aligné avec O et N, ce n'est d'autre que le point P.

    En conséquence, [BN] est le symétrique de [PD]. Autrement dit (BN)//(DP) et BN=DP donc vec(NB)=vec(DP)
    Est-ce correct ?

    Merci encore,
    perfect



    Réponse : Vecteurs de wab51, postée le 25-10-2020 à 13:05:23 (S | E)
    Oui- bien et c'est correct .
    Ayant arrivé à démontrer que les deux points N et P sont symétriques par rapport à O ,on peut aussi emprunter une autre voie de raisonnement .
    En effet,N et P étant symétrique par rapport à O alors O est donc milieu de [NP] (ON=OP).En considérant le quadrilatère BNDP,les deux diagonales
    [BP] et [NP] se coupent en leur milieu O ,c'est donc un parallélogramme et par conséquent (BN)//(DP) et BN=DP ,il en résulte que vec(BN)=vec(DP).
    Merci-Très bonne journée .




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