Quadrilatères inscriptibles

Salut 'astarus',

Il est évident qu'aucun angle ne peut être un angle droit!

Êtes-vous en train de dire qu'il n'y a pas d'entier naturel n pour lequel il y a un quadrilatère inscrit dans un cercle?Si nous notons DA=n+3=x, alors que pouvons-nous dire à propos de x?Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator

Bonsoir 

Problème interessant et très attirant .Si vous le permettez ,je commencerais par donner certaines figures interessantes et au fur et à mesure ,je présenterais mon analyse et la méthode .

Lien internet

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Bonsoir
*Le quadrilatère convexe ABCD est inscriptible ssi les angles ϴ et Ф sont supplémentaires (ϴ + Ф = 180°)ou encore ssi cos(ϴ)=-cos(Ф) .
*application de la formule d'Al Hashi dans chacun des triangles quelconques ABD et BCD (h=diagonale=BD):
h²=a²+d²-2ad*cos(ϴ)=b²+c²-2bc*cos(Ф)=b²+c²+2bc*cos(ϴ) d'où
cos(ϴ)=(a²+d²-b²-c²)/(2(bc+ad)(est un nombre) ↔
a)Calculer :1-cos²(ϴ)en utilisant technique de calcul "identité remarquable -différence de deux carrés pour aboutir au résultat du numérateur égal à:
N=(a+d+b-c)(a+d+c-b)(a+b+c-d)(b+c+d-a)(produit de quatre facteurs).
b)Exprimer N en fonction de p qui désigne le demi-périmètre c'est à dire 2p=périmètre=a+b+c+d donc p=(a+b+c+d)/2 .
c)Tout calcul fait et en sachant que 1-cos²(ϴ)=sin²(ϴ),on obtient finalement que

sin²(ϴ)=(4*(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)/(bc+ad)² soit donc sin(ϴ)=2*sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]/(bc+ad)d'où ϴ=arcsin[2*sqrt(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)/(bc+ad)].

c)Remplacer a,b,cet d respectivement par n,n+1,n+2 et n+3
En espérant ne pas avoir fait d'erreur de calcul,je pense peut-etre que le plus gros travail a été fait ,je vous laisse continuer la suite .(voir figure ci dessous).

Vous pouvez vous aider de la figure suivante 

 Bon chemin de continuation et bon courage (l'arme secrete est la patience).Merci

Mon raisonnement:

1) En calculant les diagonales , nous obtenons .

2) Si nous notons  , nous obtenons ecuațiile:

À partir des deux équations du point 2) et en tenant compte du point 1) , nous obtenons:

 où  et donc à la fin nous obtenons que  

Conclusion:

Pour tout  il y a un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle!Merci à 'wab51' j'ai refait mes calculs! Merci beaucoup 'wab51'!Des milliers de remerciements!

P.S.

Des milliers d'excuses pour l'inattention et les erreurs de calcul faites en omettant la multiplication par les dénominateurs de  et de certains termes des deux équations!

Modifié par moi, aujourd'hui 27.11.2020.

Modifié par moi, aujourd'hui 27.11.2020 l'heure de Roumaine 22:53

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Modifié par integrator le 27-11-2020 21:55

Bonsoir integrator

Bien lire  la démonstration du message du 11/11/2020 à 21h41'25"et de la conclusion comment "trouver et calculer Ө pour n donné à partir de "arcsin(Ө)" et bien sur la représentation n'est qu'un cas de figure d'un exemple traité pour plus de lucidité .
Pour la construction ,je pense que le problème est facile puisque n est fixé et Ө connu (après calcul).Brièvement,on trace Ө =(Ax,Ay)à partir d'un point A donné. Puis ,sur [Ax) et [Ay) on positionne respectivement B et A tel que AB=n=1 et AD=n+3=4 .Enfin ,on trace deux cercles de centres respectifs B et C ,et rayons respectifs R_B=n+1=2 et R_C=n+2=3.Le point d'intersection de ses deux cercles est le 3ème sommet C du quadrilatère inscriptible ABCD et de cotés entiers consécutifs 1,2,3 et 4

 Bin cordialement .

Bonjour integratore
J'avais supprimé mon dernier message pour cause "mal rédigé" et peut-être mal fait comprendre.
Ce que je n'arrive pas toujours à comprendre "travaillant sur les mêmes équations trouvées et en faisant la logique de tous les modes de calcul ,je n'aboutis pas à retrouver vos derniers résultats de calcul tout en conservant vos hypothèses et vos consignes de travail.
*Si j'ai bien compris:
-A partir du système des deux équations de 2),on trouve X et puis en remplaçant cosA et cosB dans l'expression de X ce qui donne un X fonction de n .Et là,je ne vois pas du tout comment vous avez fait pour ressortir k1 et k2?
De votre coté,vous ne donnez aucun détail ou une explication qui peut aider quelqu'un à suivre ou vérifier ses résultats .Tout ça,pour comprendre votre méthode sans aucune arrière pensée de mise en cause de votre raisonnement.

Voilà,peut-etre encore un petit pouce d'explications et les choses seront claires.Merci 

Bonjour "wab51",

Il est évident que  et donc  où .On sait que toute équation de forme 

peut avoir des racines dans  avec la condition  , en d'autres termes, le nombre  est parmi les diviseurs du nombre 

. J'espère que mon raisonnement est clair maintenant....

Avec respect,

Integrator

Personnellement, je n'ai jamais rencontré cette dernière formule ou propriété. Je ne m'en doute pas mais je ne la connaissais pas mais à vrai dire "c'est celle là qui faisait le tourbillon pour peut-être ne pas voir plus "donc j'admets".
Mais si vous le permettez encore ,voulez-voulez-bien répondre à cette question:
Le nombre trouvé n égal à 1 ,ne répond t il uniquement et simplement qu'à l'existence d'un seul quadrilatère inscriptible de longueurs de cotés entiers naturels successifs 1,2,3 et 4? ou encore à d'autres quadrilatères de même nature avec des longueurs telles 2,3,4 et 5 ou bien 7,8,9 et 10 par exemples ? (autrement dit pour tout quadruplet entiers ,ordonnées ou bien cette valeur change suivant le quadruplet que l'on choisit.)
*Je n'avais pas oublié de répondre à votre question .Voilà ma réponse .Merci beaucoup.

Voici la démonstration à votre précédente question

 Bien amicalement .

Bonjour "wab51",

Veuillez écrire la formule directement pour le calcul d'angle  en fonction de p, a, b, c, d et donc sans utiliser la formule  .Merci beaucoup!

Integrator

Citation de 'astarus'
'Réponse : Quadrilatères inscriptibles de astarus, postée le 13-11-2020 à 14:16:33 (S | E)
Bonjour wab51 !

Fascinant, je pensais pourtant ne pas avoir fait d'erreur, et je trouvais qu'il n'y avait aucun quadrilatère de la sorte inscriptible. J'ai également utilisé Al Kashi et les diagonales. Je vais revoir mon travail à la lumière de ce nouveau raisonnement. (Je serais également curieux de savoir si Integrator a aussi tenté de résoudre ce problème qui est le sien ! 😀).

Astarus.'

Bonsoir 'astarus',

J'attends avec impatience votre nouveau raisonnement!Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator

Bonsoir integrator
En réponse à votre dernière question " En conclusion, êtes-vous d'accord qu'il n'y a qu'un seul quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, à savoir celui pour lequel n = 1?"
Oui,pour le cas n=1,il n'existe qu'un seul quadrilatère convexe inscriptible ABCD dans un cercle et de cotés de longueurs entiers naturels successifs 1,2,3 et 4.
Mais ,il faut aussi s'entendre à bien préciser qu'il existe d'autres cas similaires :  
*pour n=2 existe le seul quadrilatère inscrit2,3,4 et 5
*pour n=3 existe le seul quadrilatère inscrit3,4,5 et 6
*pour n=4 existe le seul quadrilatère inscrit 4,5,6 et 7
*......................................................
*et ainsi de suite.???
*On peut aussi conclure de cet ensemble de quadrilatères que l'aire du 1er quadrilatère cas n=1 est celui de la plus petite aire .
Voici ,résumé de quelques  résultats sur ce tableau et que l'on peut s'amuser encore à revérifier par le calcul. Merci 

Ou encore avec un second tableau : produit des diagonales =somme des produits des cotés opposés 

  Je pense que c'est la fin-Merci et très bonne journée 

Bonjour "wab51",

J'ai commis deux erreurs impardonnables dans mes calculs pour les coefficients  et ....et en ce sens j'ai édité mon message du 16.11.2020 à 07:45:57. Veuillez relire mon message modifié "Réponse : Quadrilatères inscriptibles de integrator, postée le 16-11-2020 à 07:45:57 (S | E)".

Merci beaucoup pour votre insistance à résoudre ce problème correctement!J'essaierai de faire plus attention aux calculs!Merci beaucoup!À bientôt!

Avec un profond respect,

Integrator