Maitrise Calcul Vectoriel- Chasles

Bonjour,

Voilà j'ai bien aimé l'exercice n°6, la fin est plutôt techniquet ne t'étonne pas si tu as eu du mal où si tu n'y es pas arrivé.

En fait la difficulté dépend du nombre de choses à calculer avantde pouvoir répondre !

J'ai utilisé v(AB) pour signifier vecteur AB. Si tu ne comprends pas ce que j'écris demande des précisions, j'ai essayé de donner

le cheminement qui permet de trouver la bonne méthode. Ce n'est donc pas une simple correction.

Une chose utile : mettre sur la figure les données et les conséquences de ces données pour permettre de raisonner sur la figure.

Figure de départ :

A)1)BC Hypoténuse de BEC
AE (si on donne le résultat c'est que ce n'est pas si facile...)
Dans AEC on peut calculer OC donc OA et AC, donc on connait deux côtés CA et CE et l'angle qu'ils forment 45°, la relation d'Al

Kashi (ou loi des cosinus) permet de conclure...

2)a)B se projette orthogonalement en E sur (CE) donc le premier produit est CE²

C se projette orthogonalement en E sur (OB) donc c'est -OB.OE=-12

b) Bon là aussi on donne le résultat donc calcul plus long.
Il faut utiliser Chasles.
Ne pas se lancer à introduire des points sans avoir bien réfléchi et le moins de points possible.

Le point O semble bon car on vient de calculer v(OB).v(OC)
On décompose les deux vecteurs en utilisant le point O, il vient alors 4 produits scalaires:

BO²=36

v(BO).v(OC)=12

v(OA).v(BO)=v(CO).v(BO) car O milieu de [AC]
=v(EO).v(BO) car C se projette orthogonalement en E sur (BO)
=-12

et enfin
v(OA).v(OC)=-OC²=-8
La somme des quatre donne bien 28.

En déduire AB
On voit que cela se passe dans ABC mais si je pars de AB² et que j'intercale C avec Chasles cela me donne v(AC).v(CB) que je ne connais pas...

C'est plutôt B qu'il faut intercaler car il intervient deux fois dans le produit que l'on vient de calculer, donc on part de AC².

AC²=(v(AB)+v(BC))²=AB²+2v(AB).v(BC)+BC²=AB²-56+68
Donc AB²=AC²-12=4OC²-12=32-12=20.
D'où le résultat, on notera que BAE est isocèle.

B)1)facile
2)Résultat de cours ou bien intercaler O avec Chasles
3)M est sur phi si et seulement si MO²=8 ou MO=racine(8)
Donc cercle passant par A d'après 1)
4) Là il faut voir que [AC] est un diamètre du cercle et donc que

ADC est rectangle en D...
Donc A se projette orthogonalement en D sur (BC) et
v(BA).v(BC)=v(BD).v(BC)=BD.BC
d'où BD=28/racine(68)=14/racine(17)

C)1) Intercaler A avec Chasles dans v(ME) pour avoir le AE²
2) Il faut d'abors calculer AE² dans le triangle AEC (relation d'Al Kashi)

AE²=AC²+CE²-2AC.CE.cos45°
=4OC²+4-4OC.2.racine(2)/2
=32+4-8racine(2).2.racine(2)/2
=36-16=20

donc M est sur Delta si et seulement si 2v(AM).v(AE)-20=-20
ou v(AM).v(AE)=0
ou (AM) orthogonale à (AE)
Delta est la perpendiculaire à (AE) passant par A

Figure mise à jour :

3) Dernière question assez délicate
Comme dans le B, le triangle ACK est rectangle en K, donc les droites (CK) et (AE) perpendiculaires à (AK) sont parallèles entre elles.

Comme (KA) ortogonale à (KC) on intercale A dans v(KE) avec Chasles

v(KE).v(KC)=v(KA).v(KC)+v(AE).v(KC)=v(AE).v(KC)=AE.KC

Reste à calculer KC (dans AKC rectangle en K)
KC=CA.cos(KCA)=CA*cos(CAE) car ces angles sont alternes internes

or dans le triangle ACE cos (CAE)=(CA²+AE²-CE²)/(2CA.AE)=(32+20-4)/(2.4racine(2).2racine(5))

=48/(16racine(10))=3/racine(10)

d'où KC=AC*3/racine(10)=12racine(2)/racine(10)=12/racine(5)
et enfin :
v(KE).v(KC)=AE.KC=2.racine(5).12/racine(5)=24

Voilà désolé si j'ai commis quelques étourderies...

Bonsoir à tous 

Vous souhaitons d'excellentes résultats et une bonne réussite au bac . 

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