Problï¿½me du messager

Problème du messager
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Problème du messager
Message de harmonique posté le 22-02-2020 à 19:32:09 (S | E | F)
Slt svp besoin d'aide suis bloqué.

"Alors q'une armée avance à une vitesse constante, un messager part de l'arrière garde, galope pour aller délivrer un message à l'avance puis revient à l'arrière garde. Il arrive exactemant au moment où l'armée a parcouru 50km.
Quelle distance totale a parcouru le messager?
(On désignera par v et V les vitesse respective de l'armée et du messager et on posera x=V/v )"

En désignant par d cette distance totale parcouru pa le messager, étand donné que ce dernier parcour cette distance en une duré t égale à la durée de temp mis par l'armée pour parcourir les 50km, je trouve:
t = d/V = 50/v soit x = d/50 j'obtien l'équation 50x=d.
Mais je n'arrive pas à trouver une autre relation me permettant d'avancé.

Réponse : Problème du messager de tiruxa, postée le 23-02-2020 à 15:25:34 (S | E)
Bonjour,

Il vous manque une donnée.
La longueur de l'armée est nécessaire pour pouvoir conclure (come dirait Jean Claude....)

Réponse : Problème du messager de puente17, postée le 26-02-2020 à 19:02:00 (S | E)
Bonjour,

d = 50 V/v me parait curieux en effet cela voudrait dire que plus la vitesse relative du messager est grande par rapport à la vitesse de l'armée et plus il lui faudra parcourir de km pour effectuer le trajet???, et s'il va à la même vitesse que l'armée il n'aura parcouru que 50km ce qui est encore plus curieux car il me semble qu'il n'arrivera jamais en tête, non?

Réponse : Problème du messager de wab51, postée le 26-02-2020 à 20:51:58 (S | E)
Bonsoir
Effectivement ,l'énoncé "ne donne pas la valeur de la longueur de la colonne armée",mais je pense que la question peut se traiter d'une façon encore plus générale en admettant cette longueur est une longueur égale à l.
Si le candidat est toujours intéressé par ce problème important en hypothéquant que l=longueur de la colonne et trouvera deux schémas mobiles guides pour l'aider dans son raisonnement .En fait,après résolution par le calcul ,on déduira un résultat "la distance totale parcourue par le chevalier est proportionnelle à la longueur l de la colonne et le coefficient de proportionnalité égal à 1+V2 (fonction affine y=(1+V2)*x)

Lien internet

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Réponse : Problème du messager de tiruxa, postée le 27-02-2020 à 15:42:14 (S | E)
Bon je me lance même si harmonique n'est pas revenu depuis son post initial.
(j'ai commencé à écrire avant d'avoir lu le post de Wab51, mais bon je pense que cela ne fait pas double emploi, toutefois je ne suis pas d'accord pour ce qui est de la proportionnalité entre D et L).

D'abord concernant la remarque de Puente17. La relation D=50x n'est valable que pour le cas où l'armée parcourt 50km pendant le temps que met le messager à faire l'aller retour. C'est à dire que 50 dépend en fait de x. Si le messager va plus vite, c'est à dire si x augmente, l'armée aura parcouru moins de 50 km et la relation sera différente et de ce fait D sera plus petite ce qui est logique. Je l'explique en détail plus loin en PS.

Donc Vm est la vitesse du messager en km/h
Va celle de l'armée en km/h
L la longueur de l'armée en km
t1 le temps en h mis par le messager pour aller de l'arrière garde à l'avant garde.
t2 le temps en h mis par le messager pour revenir à l'arrière garde
t le temps total mis par le messager
D la distance parcourue par le messager en km

On a bien sûr t=t1+t2

Exprimons t1

Le messager parcourt L PLUS la distance parcourue par l'armée soit Vat1, donc L+Vat1,
de plus cette distance est aussi Vmt1 puisqu'il va à la vitesse Vm.

On a L+Vat1=Vmt1 donc L=(Vm-Va)t1 donc t1=L/(Vm-Va)

Exprimons t2

Cette fois le messager parcourt L MOINS la distance parcourue par l'armée soit Vat2, donc L-Vat2,
de plus cette distance est aussi Vmt2 puisqu'il va toujours à la vitesse Vm.

On a L-Vat2=Vmt2 donc L=(Vm+Va)t2 donc t2=L/(Vm+Va)

Exprimons t
L'armée parcourt 50 km à la vitesse Va, donc t=50/Va

D'où l'équation

L/(Vm-Va)+L/(Vm+Va)=50/Va

On a posé Vm=xVa, donc L/[Va(x-1)] + L/[Va(x+1)] = 50/Va

Donc en multipliant par Va

L/(x-1) + L/(x+1) = 50 (relation E)

(Lx+L+LX-L)/(x²-1)=50

2Lx/(x²-1)=50

ou enfin

50x²-2Lx-50=0

A ce niveau là on peut exprimer x en fonction de L, si par exemple L vaut 50, valeur souvent donnée dans cet exercice, on a :

x²-2x-1=0

D'où x=1+racine(2) (l'autre solution est négative...)

et D = 50(1+racine(2)) soit environ 120.7 km

Ps: Je n'ai pas écrit les conditions que doivent respecter les variables, il est clair que x>1 (car t1 >0 et t1 contient x-1)

Donc pour reprendre la remarque de Puente17, x ne peut pas prendre la valeur 1.

D'autre part, D=50x est vraie quand l'armée parcourt 50km et seulement dans ce cas,

en fait, d'après la relation (E) la distance parcourue par l'armée est L/(x-1) + L/(x+1), donc la relation D=50x devient :

D=[L/(x-1) + L/(x+1)]*x=(2Lx²)/(x²-1)

Si on étudie cette fonction pour x>1 on voit qu'elle est décroissante et a pour limite 2L ce qui semble plus logique !

Réponse : Problème du messager de wab51, postée le 28-02-2020 à 08:54:28 (S | E)
Bonjour tiruxa
C'est bien dommage que vous n'ayez pas lu mon post avant pour savoir et comprendre d'où vient le résultat de proportionnalité des deux grandeurs distance du chevalier D et la longueur L de la colonne de l'armée alors qu'une simple observation des schémas vous laisserait constater et de voir
que la condition de mon hypothèse de travail est bien la suivante " la longueur de la colonne de l'armée L doit être prise et considérée identiquement aussi égale à la distance D qu'a parcouru le chevalier pour rencontrer la tête de la colonne de l'armée et au même moment",autrement dit et bien évidemment et par rapport à la phrase du texte "il arrive exactement au moment où l'armée a parcouru 50 km" ,doit etre remplacée par "il arrive exactement au moment où l'armée a parcouru Lkm et non plus 50km.Pour moi,il s'agit d'erreur de mauvaise interprétation sans quoi notre méthode,notre raisonnement,nos calculs et nos résultats ne seraient les mêmes.

Réponse : Problème du messager de wab51, postée le 28-02-2020 à 09:06:02 (S | E)
Et par la preuve de calcul :
Exprimons t
L'armée parcourt Lkm à la vitesse Va, donc t=L/Va

D'où l'équation

L/(Vm-Va)+L/(Vm+Va)=L/Va

On a posé Vm=xVa, donc L/[Va(x-1)] + L/[Va(x+1)] = L/Va

Donc en multipliant par Va

L/(x-1) + L/(x+1) = L (relation E)

(Lx+L+LX-L)/(x²-1)=L

2Lx/(x²-1)=Lou enfin

Lx²-2Lx-L=0

A ce niveau là on peut exprimer x en fonction de L, <s>si par exemple L vaut 50, valeur souvent donnée dans cet exercice,</s> on a :

x²-2x-1=0

D'où x=1+racine(2) (l'autre solution est négative...)

et D = L(1+racine(2)) .A titre d'application si l=50km alors D égale à environ 120.7 km

Réponse : Problème du messager de tiruxa, postée le 28-02-2020 à 11:59:53 (S | E)
Oui oui Wab51 pas de soucis je n'avais pas interprété votre post de cette façon (mais je l'avais lu...)

Bonne journée à vous

Réponse : Problème du messager de puente17, postée le 28-02-2020 à 17:19:19 (S | E)
bonjour,
et merci beaucoup aux protagonistes, les graphiques donnés par wab sont très intéressants et la fonction de tiruxa D(x)=2L.x²/(x²-1) est parfaitement claire (en particulier les limites en 1+ et +infini confirment ce que nous dit l'intuition). J'espère qu'harmonique aura apprécié ce beau travail à deux.

Réponse : Problème du messager de wab51, postée le 28-02-2020 à 18:03:29 (S | E)
Bonsoir chers tiruxa et puente
Merci beaucoup .Vous etes prodigieux et toujours adorables .

Réponse : Problème du messager de harmonique, postée le 01-03-2020 à 05:50:38 (S | E)
Je vous remerci particulièrement Tiruxa, Puente17 et Wab51.
Merci encore et je m'escuse de n'avoir pas participé à vos discution à propos de l'exercice.
C'est juste que je n'était pas connecté pendant un certain temp.

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