Etude d'une fonction
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Message de bourich62 posté le 19-11-2018 à 20:20:46 (S | E | F)
Bonjour, voici le sujet de mon exercice, je m'entraîne pour un concours. Je n'ai pas la correction donc si vous pouvez me corriger. Je vous remercie d'avance.
Etude de la fonction f définie sur ]0;+inf[ par f(x)=[x+2+ln(x)]/x
La courbe C représente cette fonction f dans le repère O,I,J d'unité graphique 2cm.
<b>Partie 1 Limites, asymptotes, variations</b>
1. Calculer la limite f(x) en 0+ : lim par quotient (2-inf)/0+=-inf
2. Vérifier que pour tout x € ]0;+inf[, f(x)=1+2/x+ln(x)/x :
f(x)=[x+2+ln(x)]/x=x/x+2/x+ln(x)/x=1+2/x+ln(x)/x
3. limite f(x) en +inf : lim par somme 1+0=1
4. en déduire l'existence de 2 asymptotes à la courbe C. On appellera d l'asymptote verticale et d' l'horizontale. d=x=0 d'=y=1
5. donnez les équations de ses 2 droites. x=0 et y=1
On appellera f'(x) la dérivée de f(x)
6. démontrer que pour tout x € ]0;+inf[, f'(x)=[-1-ln(x)]/x²
f'(x)=-2/x²+[1-ln(x)]/x²=[-1-ln(x)]/x²
7. montrer que f'(x) s'annule en x=e^(-1) en changeant de signe. Ici impossible de trouver l'égalité à 0.
8. déterminer la valeur de f(e^(-1)). donc =1+2/e^(-1)+(-1/e^(-1)) environ 3.72
9. dresser le tableau de variation de f(x)
x 0 e^(-1) +inf
-1-ln(x) + X -
x² + +
f'(x) + X -
f(x) -inf< 3.72 > 1
(< : croissant > décroissant)
<b>Partie 2 : Position relative</b>
Soit g la fonction définie sur ]0;+inf[ par g(x)=1+2/x et H sa courbe représentative dans le repère O,I,J
Soit K le point d'intersection des courbes C par rapport à H.
1. Etudier la fonction g(x).
Limites : en +inf : par somme g(x)=1+0=1
en 0+ : par somme g(x)=1+inf=+inf
Dérivée : g'(x)=-2/x²
Tableau de variation :
x 0 +inf
-2 -
x² +
g'(x) -
g(x) +inf > 0
2. Etudier f(x)-g(x)
le calculer : f(x)-g(x)= ln(x)/x
Etudier son signe. donc dérivée de ln(x)/x= -ln(x)/x²
x 0 +inf
-ln(x) -
x² +
-ln(x)/x² -
En déduire la position de C par rapport à H. Ici j'ai envie de répondre que C est en dessous de H comme le résultat est négatif, mais je ne suis pas sûre.
3. donner les coordonnées exactes du point K. Ici je ne sais répondre à la question.
<b>Partie 3 Calcul d'une aire.</b>
soit A l'aire d'un domaine limité par les courbes C et H et par les droites d'équation x=1 et x=e².
1.Primitive
soit P(x) la fonction définie sur ]0;+inf[ par P(x)=1/2(ln(x))²
Vérifier que P(x) est une primitive de ln(x)/x sur ]0;+inf[
Ici je sais que P'(x) doit être égal à ln(x)/x mais je n'arrive pas à le démontrer.
2. Calculer l'aire A en cm².
Ici j'ai une petite idée de la résolution, avec la formule P(e²)-P(1). Mais je ne l'ai pas calculé. De plus, je sais qu'il faut prendre en compte que l'unité du repère est de 2cm.
Voilà fin de l'exercice, j'ai essayé d'être la plus brève possible. Merci pour ceux qui m'aideront. J'ai besoin de comprendre mes erreurs pour ne pas les refaire. N'hésitez pas à me donner des conseils
Message de bourich62 posté le 19-11-2018 à 20:20:46 (S | E | F)
Bonjour, voici le sujet de mon exercice, je m'entraîne pour un concours. Je n'ai pas la correction donc si vous pouvez me corriger. Je vous remercie d'avance.
Etude de la fonction f définie sur ]0;+inf[ par f(x)=[x+2+ln(x)]/x
La courbe C représente cette fonction f dans le repère O,I,J d'unité graphique 2cm.
<b>Partie 1 Limites, asymptotes, variations</b>
1. Calculer la limite f(x) en 0+ : lim par quotient (2-inf)/0+=-inf
2. Vérifier que pour tout x € ]0;+inf[, f(x)=1+2/x+ln(x)/x :
f(x)=[x+2+ln(x)]/x=x/x+2/x+ln(x)/x=1+2/x+ln(x)/x
3. limite f(x) en +inf : lim par somme 1+0=1
4. en déduire l'existence de 2 asymptotes à la courbe C. On appellera d l'asymptote verticale et d' l'horizontale. d=x=0 d'=y=1
5. donnez les équations de ses 2 droites. x=0 et y=1
On appellera f'(x) la dérivée de f(x)
6. démontrer que pour tout x € ]0;+inf[, f'(x)=[-1-ln(x)]/x²
f'(x)=-2/x²+[1-ln(x)]/x²=[-1-ln(x)]/x²
7. montrer que f'(x) s'annule en x=e^(-1) en changeant de signe. Ici impossible de trouver l'égalité à 0.
8. déterminer la valeur de f(e^(-1)). donc =1+2/e^(-1)+(-1/e^(-1)) environ 3.72
9. dresser le tableau de variation de f(x)
x 0 e^(-1) +inf
-1-ln(x) + X -
x² + +
f'(x) + X -
f(x) -inf< 3.72 > 1
(< : croissant > décroissant)
<b>Partie 2 : Position relative</b>
Soit g la fonction définie sur ]0;+inf[ par g(x)=1+2/x et H sa courbe représentative dans le repère O,I,J
Soit K le point d'intersection des courbes C par rapport à H.
1. Etudier la fonction g(x).
Limites : en +inf : par somme g(x)=1+0=1
en 0+ : par somme g(x)=1+inf=+inf
Dérivée : g'(x)=-2/x²
Tableau de variation :
x 0 +inf
-2 -
x² +
g'(x) -
g(x) +inf > 0
2. Etudier f(x)-g(x)
le calculer : f(x)-g(x)= ln(x)/x
Etudier son signe. donc dérivée de ln(x)/x= -ln(x)/x²
x 0 +inf
-ln(x) -
x² +
-ln(x)/x² -
En déduire la position de C par rapport à H. Ici j'ai envie de répondre que C est en dessous de H comme le résultat est négatif, mais je ne suis pas sûre.
3. donner les coordonnées exactes du point K. Ici je ne sais répondre à la question.
<b>Partie 3 Calcul d'une aire.</b>
soit A l'aire d'un domaine limité par les courbes C et H et par les droites d'équation x=1 et x=e².
1.Primitive
soit P(x) la fonction définie sur ]0;+inf[ par P(x)=1/2(ln(x))²
Vérifier que P(x) est une primitive de ln(x)/x sur ]0;+inf[
Ici je sais que P'(x) doit être égal à ln(x)/x mais je n'arrive pas à le démontrer.
2. Calculer l'aire A en cm².
Ici j'ai une petite idée de la résolution, avec la formule P(e²)-P(1). Mais je ne l'ai pas calculé. De plus, je sais qu'il faut prendre en compte que l'unité du repère est de 2cm.
Voilà fin de l'exercice, j'ai essayé d'être la plus brève possible. Merci pour ceux qui m'aideront. J'ai besoin de comprendre mes erreurs pour ne pas les refaire. N'hésitez pas à me donner des conseils
Réponse : Etude d'une fonction de wab51, postée le 19-11-2018 à 22:17:34 (S | E)
Bonsoir
Correction de la 1ère partie:
a)Toutes tes réponses aux questions 1,2,3,4,5,6,8 sont justes .sauf la Q-4 non fait .
*f'(x)=o ↔ [-1-ln(x)]/x² =0 ↔ -[1+ln(x)]/x²=0 ↔ 1+ln(x)=0 ↔ ln(x)=-1 ↔ ln(x)=-ln(e) ↔ ln(x)=ln(e^(-1))=ln(1/e) d'où x=e^(-1)=1/e
On verra la 2éme partie pour demain .C'est quand meme long et cela demande un peu plus de temps que d'habitude .
Enfin ,bravo !
Réponse : Etude d'une fonction de wab51, postée le 19-11-2018 à 23:29:04 (S | E)
Tracé de la courbe Cf de la fonction f (interprétation graphique des résultats)
Réponse : Etude d'une fonction de wab51, postée le 20-11-2018 à 00:25:05 (S | E)
autres précisions que j'avais oubliées de signaler dans le résultat de Q-8:
"8. déterminer la valeur de f(e^(-1)). donc =1+2/e^(-1)+(-1/e^(-1)) environ 3.72 "
* En remplaçant ,tu as oublié d'écrire "ln" .
*. f(e^(-1))=1+e ≈3.72.
*Pour étudier le signe de f'(x),tu n'avais pas à apporter celui de x² ,étant donné qu'un carré d'un nombre est tj positif et par conséquent le signe de f'(x) dépendra tout court du signe du numérateur -1-ln(x)=-(1+ln(x)).Et on portera le tout sur le tableau de variation :
-------------------
Modifié par wab51 le 20-11-2018 08:59
Réponse : Etude d'une fonction de bourich62, postée le 20-11-2018 à 10:38:16 (S | E)
Bonjour, merci pour votre temps et vos réponses.
Alors en reprenant la question f'(x)=0 je ne comprends toujours pas la solution.
Je comprends jusqu'à ln(x)=-1
Ensuite, pourquoi remplacer -1 par -ln(e) ? est ce une règle ln(x)=-ln(e) ?
Ainsi, si c'est une règle, donc je remplace et on arrive à ln(x)=ln(e^-1).
Ensuite, e^-1 devient 1/e ? pareil serait-ce une règle ? Je sais que la fonction exponentielle de base e est la réciproque de la fonction ln, donc qui dit réciproque dit 1/e ? ou passe le - ? j'ai vraiment du mal avec cette fonction désolé...
Pour la question f(e^-1) :
voici ma résolution entière :
f(e^-1)=1+2/(e^-1)+(ln(e^-1)/(e^-1)
= 1+(2/e^-1)+(-1/e^-1)
enfet je supprime ln car lne^a=a d'après mon cours
Merci encore pour votre aide et votre temps
Réponse : Etude d'une fonction de bourich62, postée le 20-11-2018 à 11:40:31 (S | E)
Re bonjour !
j'ai trouvé une correction de cet exercice sur internet
du coup j'ai pu corriger mes erreurs et je vous évite donc de tout faire aujourd'hui.
J'ai juste besoin de précision sur mon poste précédent, et pour la dérivée de la primitive.
Le reste j'ai compris
merci beaucoup
Réponse : Etude d'une fonction de wab51, postée le 20-11-2018 à 12:16:48 (S | E)
Je comprends jusqu'à ln(x)=-1 (0.K,c'est bon)
Ensuite, pourquoi remplacer -1 par -ln(e) ? ln(e)=1 et en multipliant les deux membres par -1 on a (-1)*ln(e)=(-1)*1 soit -ln(e)=-1.Sinon avec cette 2ème explication à partir de la définition du cours du logarithme népérien dont je la rappelle ici :"Pour tout x ϵ ]0,+inf[ y=ln(x) est équivalent à écrire x=e^y avec y nombre réel",donc si j'applique directement cette définition j'aurais -1=ln(x) équivalent à x=e^(-1) puisque y=-1/bleu]est ce une règle ln(x)=-ln(e) ?(déjà expliquée-
Ainsi, si c'est une règle, donc je remplace et on arrive à ln(x)=ln(e^-1).déjà expliquée)
Ensuite, e^-1 devient 1/e ? pareil serait-ce une règle ?Oui,e^-1=1/e .Voici l'explication: sache que e c'est aussi e^1 donc e=e^1 et l'inverse de e s'écrit 1/e=1/e^1=e^(-1) (une autre écriture sous forme de puissance en changeant de signe de l'exposant de la puissance au dénominateur et en voici la propriété ou la règle déjà étudiée dans les niveaux antérieures des collèges " a^n=1/a^(-n) ou encore a^(-n)=1/a^n
Je sais que la fonction exponentielle de base e est la réciproque de la fonction ln, donc qui dit réciproque
réciproque de quoi???dit 1/e ? ou passe le - ?Attention *Ne confondez pas les choses :Oui ,la fonction logarithme est la bijection réciproque de la fonction exponentielle .Il s'agit de fonction et pas d'un nombre .Oui l'inverse du nombre a non nul est 1/a =1/a^1=a^(-1) comme expliquer précédemment*Voilà,toute une explication bien détaillée ,j'espère qu'elle vous apportera éclaircissement et compréhension.
**POUR LA CORRECTION de la 2ème partie,elle vous sera transmise incessamment .Bon courage
Réponse : Etude d'une fonction de wab51, postée le 20-11-2018 à 12:22:35 (S | E)
Pour la question f(e^-1) :
voici ma résolution entière :
f(e^-1)=1+2/(e^-1)+(ln(e^-1)/(e^-1)
= 1+(2/e^-1)+(-1/e^-1) (calcul inachevé)
=1+(2-1)/e^-1=1+1/e^-1=1+e^1=1+e
Réponse : Etude d'une fonction de bourich62, postée le 20-11-2018 à 20:18:27 (S | E)
Merci pour vos explications notamment le rappel de a^n=1/a^-n ça m'a beaucoup aidé pour comprendre mon erreur.
Pour la partie 2, je cherche quand f(x)-g(x)>0. Donc quand ln(x)/x>0. On sait que ln(1)=0 donc ça s'annule en quand x=1.
Conclusion, la courbe est supérieure dans l'intervalle ]0;1] puis inférieur dans l'intervalle [1;+inf].
Reste donc à calculer le point d'intersection des deux courbes.
On sait qu'il est en x=1 donc il reste à chercher y.
g(1)=1+2/1=3.
le point K a pour coordonné (1;3)
je pense que c'est bon pour cette partie
Réponse : Etude d'une fonction de bourich62, postée le 21-11-2018 à 20:39:33 (S | E)
ln(x)/x<0
ln(x)<0
ln(x)<1
donc x<1.
Donc la courbe C de f est inférieur à la courbe H de g quand x<0. dans R*+
voici ma démonstration.
Réponse : Etude d'une fonction de wab51, postée le 22-11-2018 à 10:32:03 (S | E)
ln(x)<1(faux-manque ln? c'est ln1)
donc x<1.
Donc la courbe C de f est inférieur (en dessous)à la courbe H de g quand x<0.(faux-pour x<1 et non pas x<0).
Réponse : Etude d'une fonction de wab51, postée le 22-11-2018 à 11:39:31 (S | E)
Pour la dernière question de la 3éme partie "Vérifier que P(x) est une primitive de ln(x)/x sur ]0;+inf[":
Ici,il faut bien comprendre qu'on demande de vérifier et non de démontrer,il y' a une nuance .
Je rappelle la formule générale de la dérivée F'(x) de la fonction F telle que F(x)=[u(x)]^n qui s'écrit F'(x)=n*[u(x)]^(n-1)*u'(x) avec u'(x)=dérivée de u(x).
Voici un exemple numérique : F(x)=[ln(2x+1)]^3 ,on pose ln(2x+1)=u(x) donc u'(x)=2/(2x+1) et n=3 donc n-1=2 ,il suffit de remplacer dans la formule et on a F'(x)=3*ln(2x+1)^2*2/(2x+1) et qu'on peut encore aménager F'(x)=3*2*ln(2x+1)^2/2x+1=6*ln(2x+1)^2/(2x+1)=6ln(2x+1)^2/(2x+1).
J'espère qu'avec la formule et l'exemple numérique vous pouvez calculer la dérivée de P'(x)? de P(x)=1/2(ln(x))² en posant ln(x)=u(x) et n=2 .
2)Calcul l'aire A en unité d'aire cm²?
Ton raisonnement est juste .Il suffit de convertir ton résultat trouvé en unté d'aire en cm² sachant qu'une unité d'aire 1.u=2cm*2cm²=4cm².
Bon courage
Réponse : Etude d'une fonction de wab51, postée le 22-11-2018 à 11:42:20 (S | E)
Enfin,et quand meme,combien ça a été long!Voici tous les résultats intréprétés graphiquement
-------------------
Modifié par wab51 le 22-11-2018 15:50
Réponse : Etude d'une fonction de bourich62, postée le 24-11-2018 à 16:34:40 (S | E)
Me revoilà
Alors grâce à ton exemple, j'ai trouvé mon erreur. En effet, j'utilisais la formule ln'=1/x alors qu'il faut utiliser ln[u(x)]=u'/u.
J'ai donc réussi à faire le calcul numérique de ton exemple, et aussi celui de ma fameuse primitive !
Voilà mon calcul :
F(x)=1/2(ln(x))²
F(x)=[u(x)]^n
donc la dérivée de F(x) est F'(x)=n*u'(x)*u(x)^n-1
Ici, u=ln(x) ; u'=1/x n=2 et n-1=1
Je remplace : F'(x)=1/2*2*1/x*ln(x)^1 = 2/2*1/x*ln(x) = 1*1/x*ln(x) ) ln(x)/x
Réponse : Etude d'une fonction de bourich62, postée le 24-11-2018 à 16:39:39 (S | E)
Calcul de l'aire : P(e²)-P(1) = 1/2(ln(e²)² - 1/2(ln(1)² = 1/2 (ln(e²)² - 0 = 1/2*2² = 1/2*4=2 unités d'aires (je sais qu'il faut écrire P(X) avec en haut e² et en bas 1 mais je ne sais pas écrire la formule sur l'ordinateur
ici une unité d'aire = 2cm. Donc 2*2=4cm².
2*4cm²=8cm².
Voilà la fin de l'exercice
Encore merci beaucoup.
Réponse : Etude d'une fonction de wab51, postée le 24-11-2018 à 17:03:16 (S | E)
ici une unité d'aire = 2cm
*2cm. Donc 1u.a=2*2=4cm².Voilà ,c'est parfait.
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